Question

2．（1）已知函數(shù)y=2x+1，-1≤x≤1，求函數(shù)值的最大值．
（2）已知關(guān)于x的函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0），試求1≤x≤10時(shí)函數(shù)值的最小值．
（3）己知直線m：y=2kx-2和拋物線y=（k²-1）x²-1在y軸左邊交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P（-2、0）和線段AB的中點(diǎn)M，求直線1與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）只需運(yùn)用一次函數(shù)的增減性即可解決問(wèn)題；
（2）由于m的符號(hào)不確定，需分m＞0和m＜0兩種情況討論，然后只需運(yùn)用反比例函數(shù)的增減性即可解決問(wèn)題；
（3）可運(yùn)用公式法求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（用k的代數(shù)式表示），從而得到線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線l的解析式，即可得到b與k的函數(shù)關(guān)系，然后只需求出k的取值范圍，并運(yùn)用二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵2＞0，∴y隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y取到最大值，最大值為3；

（2）①當(dāng)m＞0且x＞0時(shí)，y隨著x的增大而減小，
則當(dāng)x=10時(shí)，y取到最小值，最小值為$\frac{m}{10}$；
②m＜0且x＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大，
則當(dāng)x=1時(shí)，y取到最小值，最小值為m；

（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
x₁、x₂是方程2kx-2=（k²-1）x²-1即（k²-1）x²-2kx+1=0，
解得x₁=$\frac{1}{k-1}$，x₂=$\frac{1}{k+1}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{{k}^{2}-1}$，y₁+y₂=2kx₁-2+2kx₂-2=2k（x₁+x₂）-4=$\frac{4}{{k}^{2}-1}$．
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）即（$\frac{k}{{k}^{2}-1}$，$\frac{2}{{k}^{2}-1}$）．
設(shè)直線PM的解析式為y=mx+n，則有
$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{m•\frac{k}{{k}^{2}-1}+n=\frac{2}{{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{2{k}^{2}+k-2}}\\{n=\frac{4}{2{k}^{2}+k-2}}\end{array}\right.$．
∴直線1與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)b=n=$\frac{4}{2{k}^{2}+k-2}$．
∵點(diǎn)A、B在y軸的左側(cè)，
∴x₁=$\frac{1}{k-1}$＜0且x₂=$\frac{1}{k+1}$＜0，
解得k＜-1．
設(shè)t=2k²+k-1，則有
b=$\frac{4}{t}$，t=2（k+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{17}{8}$，
∵2＞0，∴當(dāng)k＜-1時(shí)t隨著k的增大而減小，
∴t＞2（-1+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{17}{8}$即t＞-1，
對(duì)于b=$\frac{4}{t}$，
①當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，b＜-4；
②當(dāng)t＞0時(shí)，b＞0，
∴直線1與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)b的取值范圍是b＜-4或b＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)的增減性、反比例函數(shù)的增減性、二次函數(shù)的增減性、直線與拋物線的交點(diǎn)、運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵，得到b與k的函數(shù)關(guān)系并綜合運(yùn)用二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性，是解決第（3）小題的關(guān)鍵．