Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），線段BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)P．M、N分別是線段OC和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)保持∠MPN=90°不變．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①試猜想PN與PM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在①的前提下，連結(jié)MN，設(shè)OM=m．△MPN的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）①首先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，得出拋物線y=-x²+2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用△PEM∽△PFN求出PN=2PM；
②利用OM=m，則M（0，m），表示出△MPN的面積為S，進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求法得出即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)C（0，3）代入y=-x²+2x+c得：
c=3，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）①猜想PN=2PM，
理由如下：
令y=0，則-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）
設(shè)直線CB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

b=3 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直線CB的解析式為y=-x+3，
拋物線y=-x²+2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴P（1，2），
作PE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖，
設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)F，則四邊形PEOF是矩形．
∴PE=1，PF=2，
∴∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠MPN=90°，∴∠MPF+∠FPN=90°，∴∠EPM=∠FPN
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN
∴

PE

PF

=

PM

PN

，
∵P（1，2），∴PE=1，PF=2，
∴

PM

PN

=

1

2

，即PN=2PM．
②∵OM=m，∴M（0，m），∴EM=2-m，PE=1
在Rt△PEM中，由勾股定理得：PM=

12+(2-m)2

=

m2-4m+5

，
S=S△PMN=

1

2

PM•PN=

1

2

PM•2PM=PM2=m2-4m+5
∴S=（m-2）²+1（0≤m≤3），
當(dāng)0≤m≤2時(shí)，S隨著m的增大而減小，當(dāng)m=0時(shí)，S有最大值，S_最大值=5．
當(dāng)2≤m≤3時(shí)，S隨著m的增大而增大，當(dāng)m=3時(shí)，S有最大值，S_最大值=2，
綜上，當(dāng)0≤m≤3時(shí)，即m=0，S_最大值=5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分段函數(shù)求出S的最值是解題關(guān)鍵．