Question

如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作，垂足為E.

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積.

Answer 1

證明：連接OD.

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB.

又∵∠A=∠B=30°,

∴∠A=∠ODB,

∴DO∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE為⊙O的切線．

（2）（本小問4分）

連接DC．

∵∠OBD=∠ODB=30°，

∴∠DOC=60°．

∴△ODC為等邊三角形．

∴∠ODC=60°，

∴∠CDE=30°．

又∵BC=4，

∴DC=2,

∴CE=1．

方法一：

過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于點F．

∵∠ECF=∠A+∠B=60°,

∴EF=CE·sin60°=1×=．

∴S_△OEC  

方法二：

過點O作OG⊥AC，交AC的延長線于點G．

∵∠OCG=∠A+∠B=60°，

∴OG=OC·sin60°=2×=．

∴S_△OEC  

方法三：

∵OD∥CE，

∴S_△OEC = S_△DEC．

又∵DE=DC·cos30°=2×=,

∴S_△OEC