Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx(m〉0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過點(diǎn)P（1,m）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B.記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（B、C不重合）.連結(jié)CB,CP.

（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連結(jié)CA，問m為何值時(shí)CA⊥CP？

（3）過點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=-x²+6x

令y=0 得：-x²+6x=0，∴x₁=0，x₂=6，∴A（6，0）．

當(dāng)x=1時(shí)，y=5,∴B（1，5）

∵拋物線y=-x²+6x的對(duì)稱軸為直線x=3,B、C關(guān)于對(duì)稱軸x=3對(duì)稱,∴BC=4．

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，

∴

∵拋物線y=-x²+2mx的對(duì)稱軸為直線x=m，其中m＞1，B、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴BC=2（m-1），
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）
∴AH=1，CH=2m-1，

∴

∴m=

（3）∵B、C不重合，∴m≠1，
（I）當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，
（i）若點(diǎn)E在x軸上（如圖1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．
∵PC=EP，∠CBP=∠PME=90°，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m-1）=m，
∴m=2，ME=BP=m-1=1,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，0）；

（ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖2），過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2，NE=BC=2(m-1)=2,ON=m=2,OE=4，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，4）；

（II）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，
（i）若點(diǎn)E在x軸上（如圖3），

易證△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，

易證△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1-m）=m，

∴m=，ME=BP=1-m=,

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，0）

（ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖4），過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1-m=1，
∴m=0（舍去）

綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2）或（0，4），當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，0）．