Question

小明將她家鄉(xiāng)的拋物線型彩虹橋按比例縮小后，繪制成如下圖所示的示意圖，圖中的三條拋物線分別表示橋上的三條鋼梁，x軸表示橋面，y軸經(jīng)過中間拋物線的最高點(diǎn)，左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過測算，右邊拋物線的表達(dá)式為y=-

1

20

(x-30)2+5．

（1）直接寫出左邊拋物線的解析式；
（2）求拋物線彩虹橋的總跨度AB的長；
（3）若三條鋼梁的頂點(diǎn)M、E、N與原點(diǎn)O連成的四邊形OMEN是菱形，你能求出鋼梁最高點(diǎn)離橋面的高度OE的長嗎？如果能，請寫出過程；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出y與x的二次函數(shù)．
（2）由1得出二次函數(shù)的關(guān)系式以及D，B的坐標(biāo)代入可求出AB的長．
（3）連接MN，可知四邊形OMEN是菱形，易求OE的長．

解答：解：由題意得：
（1）y=-

1

20

(x+30)2+5，

（2）因?yàn)閽佄锞�y=-

1

20

(x-30)2+5與x軸的交點(diǎn)是D（20，0），B（40，0），
拋物線y=-

1

20

(x+30)2+5與x軸的交點(diǎn)是D（-20，0），B（-40，0），
所以AC=20米，CD=40米，DB=20米，拋物線彩虹橋的總跨度AB的長為80米．

（3）可以求出OE的長，
連接MN，
∵四邊形OMEN是菱形，
∴MN垂直平分OE，又M（-30，5），
∴OE=10m．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．