Question

王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計(jì)），請你計(jì)算這塊等腰三角形菜地的面積．

Answer 1

分析：本題要分等腰三角形的頂角是銳角或鈍角三種情況討論解答．
當(dāng)頂角為銳角時(shí)，利用勾股定理求出AE，添加輔助線可求出△ABC的面積．
當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，作等腰三角形邊上的高，利用比例求出AF即可求解．
當(dāng)頂角為直角時(shí)，連接AD，求出BD=AD=DC，求出BD、BC，即可求解

解答：解：根據(jù)題意，有三種情況：
（1）當(dāng)?shù)妊�三角形為銳角三角形時(shí)（如圖1所示），
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=DB，
∵AD=DB=20米，DE=15米，
∴AE=

202+152

=25（米），
過C點(diǎn)作CF⊥AB于F，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△AFC，
∴

DE

CF

=

AE

AC

，
∴CF=

15×40

25

=24（米），
∴S_△ABC=

1

2

AB•CF=

1

2

×40×24=480（米²）；

（2）當(dāng)?shù)妊�三角形為鈍角三角形時(shí)（如圖2所示），
過A點(diǎn)作AF⊥BC于F點(diǎn)，
∵AD=BD=20米，DE=15米，
∴BE=25米，
∵∠B=∠B，∠BDE=∠AFB，
∴△BDE∽△BFA，
∴

BD

BF

=

BE

AB

=

DE

AF

，
∴BF=

20×40

25

=32（米），
∴BC=2×32=64（米），AF=24米，
∴S_△ABC=

1

2

×64×24=768（米²）；

（3）當(dāng)?shù)妊�三角形是等腰直角三角形時(shí)，不符合情況．如圖：
∵∠BAC=90°，∠B=45°；∠BED=90°，∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，BE=DE，
但∵BE=20米，DE=15米．
所以不符合情況．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出等腰三角形的高，并且要分三種情況討論解答．難度中等，要學(xué)會(huì)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，通過數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，是一種很重要的方法，要熟練掌握．