Question

如圖（1），將一直角三角形的直角頂點M放在腰長為4的等腰直角三角形ABC斜邊的中點，另兩條直角邊分別與線段BC，AC交于D，E兩點，當繞著直角頂點M旋轉時，該直角三角形兩直角邊與△ABC兩直角邊的交點位置隨之發(fā)生變化．有兩位同學提出各自的判斷：甲，△MDE的形狀不會發(fā)生變化；乙，四邊形MECD的面積不會發(fā)生變化．你認為這兩位同學的判斷是否正確？請在圖（2）中作出旋轉后的圖形，并說明理由．

Answer 1

解：甲乙兩位同學的判斷都正確．
如圖，連接CM，∵M是等腰直角△ABC的中點，
∴BM=CM，∠ACM=∠B=45°，∠CMB=90°，
∵∠DME=90°，
∴∠BMD+∠CMD=90°，
∠CME+∠CMD=90°，
∴∠BMD=∠CME，
在△BMD和△CME中，，
∴△BMD≌△CME（ASA），
∴MD=ME，
∴△MDE是等腰直角三角形，
因此，△MDE的形狀不會發(fā)生變化，故甲的說法正確；
S_{四邊形MECD}=S_△CME+S_△CME=S_△BMD+S_△CME=S_△CBCM，不變，所以，乙的說法正確，
綜上所述，甲乙兩位同學的判斷都正確．
分析：連接CM，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得BM=CM，∠ACM=∠B=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BMD=∠CME，再利用“角邊角”證明△BMD和△CME全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DM=DE，從而得到△MDE是等腰直角三角形，再求出四邊形MECD的面積等于△BCM的面積．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．