Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點C，點D時拋物線的頂點

（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；

（2）試探究：在拋物線上是否存在點P，使得以點為頂點，為直角邊的三角形是直角三角形，若存在，請求出，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；直線AC的方程為；（2）存在，點P的坐標為或．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與的交點坐標，設拋物線的解析式為，化簡得，與原題的解析式對比，易得，解出a的值，代入所設解析式即可得拋物線解析式；

根據(jù)拋物線與軸交于點C，可求得，設直線AC的解析式為，把A、C的坐標代入可求出，從而即可求得直線AC的解析式；

（2）分兩種情況求解：①過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，則直線PC的解析式為，再聯(lián)立，可求得交點P的坐標為；

②過點A作AC的垂線交拋物線于點P，則可得所以直線PC的解析式為，聯(lián)立，可求得點P的坐標為．

解：（1）設拋物線的解析式為，

，

∵，

，

∴，

所以拋物線的解析式為；

當時， ，

∴；

設直線AC的解析式為，

把代入， ，

所以，

所以直線AC的方程為；

(2)存在；理由如下：

①過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，

∵直線AC的方程為，

∴直線PC的解析式為，

解方程組：，

解得：或，

此時點P的坐標為；

②過點A作AC的垂線交拋物線于點P，

直線PC的解析式為，

把代入得，

所以直線PC的解析式為，

解方程組：，

解得：或，

所以點P的坐標為．

綜上所述，符合條件的點P的坐標為或．