Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)P在AC上，將△ABP繞頂點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度數(shù)；
（2）當(dāng)AB=4，AP：PC=1：3時(shí)，求PQ的大��；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P不與A重合），請(qǐng)寫出一個(gè)反映PA²，PC²，PB²之間關(guān)系的等式，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有PCQ=90°．
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=4，根據(jù)已知條件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．
（3）由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ²=2PB²=PA²+PC²．
解答：解：（1）由題意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．

（2）當(dāng)AB=4，AP：PC=1：3時(shí)，有AC=4，AP=，PC=3，
∴PQ==2．

（3）存在2PB²=PA²+PC²，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∵AP=CQ，
∴PQ²=PC²+CQ²=PA²+PC²，
故有2PB²=PA²+PC²．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．