【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線為拋物線、b、c為常數(shù),的“夢想直線”;有一個頂點在拋物線上,另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”.
已知拋物線與其“夢想直線”交于A、B兩點點A在點B的左側(cè),與x軸負(fù)半軸交于點C.
填空:該拋物線的“夢想直線”的解析式為______,點A的坐標(biāo)為______,點B的坐標(biāo)為______;
如圖,點M為線段CB上一動點,將以AM所在直線為對稱軸翻折,點C的對稱點為N,若為該拋物線的“夢想三角形”,求點N的坐標(biāo);
當(dāng)點E在拋物線的對稱軸上運動時,在該拋物線的“夢想直線”上,是否存在點F,使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點E、F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);;;(2)N點坐標(biāo)為或;(3)、或、
【解析】試題分析:(1)由夢想直線的定義可求得其解析式,聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)N點在y軸上時,過A作AD⊥y軸于點D,則可知AN=AC,結(jié)合A點坐標(biāo),則可求得ON的長,可求得N點坐標(biāo);當(dāng)M點在y軸上即M點在原點時,過N作NP⊥x軸于點P,由條件可求得∠NMP=60°,在Rt△NMP中,可求得MP和NP的長,則可求得N點坐標(biāo);
(3)當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時,過F作對稱軸的垂線FH,過A作AK⊥x軸于點K,可證△EFH≌△ACK,可求得DF的長,則可求得F點的橫坐標(biāo),從而可求得F點坐標(biāo),由HE的長可求得E點坐標(biāo);當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時,設(shè)E(﹣1,t),由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點,從而可表示出F點的坐標(biāo),代入直線AB的解析式可求得t的值,可求得E、F的坐標(biāo).
(1)∵拋物線,∴其夢想直線的解析式為,聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可得:,解得:或,∴A(﹣2,),B(1,0),故答案為:;(﹣2,);(1,0);
(2)當(dāng)點N在y軸上時,△AMN為夢想三角形,如圖1,過A作AD⊥y軸于點D,則AD=2,在中,令y=0可求得x=﹣3或x=1,∴C(﹣3,0),且A(﹣2,),∴AC= =,由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=,在Rt△AND中,由勾股定理可得DN= = =3,∵OD=,∴ON=﹣3或ON=+3,當(dāng)ON=+3時,則MN>OD>CM,與MN=CM矛盾,不合題意,∴N點坐標(biāo)為(0,﹣3);
當(dāng)M點在y軸上時,則M與O重合,過N作NP⊥x軸于點P,如圖2,在Rt△AMD中,AD=2,OD=,∴tan∠DAM==,∴∠DAM=60°,∵AD∥x軸,∴∠AMC=∠DAO=60°,又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°,∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,∴MP=MN=,NP=MN=,∴此時N點坐標(biāo)為(,);
綜上可知N點坐標(biāo)為(0,﹣3)或(,);
(3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時,如圖3,過F作對稱軸的垂線FH,過A作AK⊥x軸于點K,則有AC∥EF且AC=EF,∴∠ACK=∠EFH,在△ACK和△EFH中,∵∠ACK=∠EFH,∠AKC=∠EHF,AC=EF,∴△ACK≌△EFH(AAS),∴FH=CK=1,HE=AK=,∵拋物線對稱軸為x=﹣1,∴F點的橫坐標(biāo)為0或﹣2,∵點F在直線AB上,∴當(dāng)F點橫坐標(biāo)為0時,則F(0,),此時點E在直線AB下方,∴E到y軸的距離為EH﹣OF=﹣=,即E點縱坐標(biāo)為﹣,∴E(﹣1,﹣);
當(dāng)F點的橫坐標(biāo)為﹣2時,則F與A重合,不合題意,舍去;
②當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時,∵C(﹣3,0),且A(﹣2,),∴線段AC的中點坐標(biāo)為(﹣2.5,),設(shè)E(﹣1,t),F(x,y),則x﹣1=2×(﹣2.5),y+t=,∴x=﹣4,y=﹣t,代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×(﹣4)+,解得t=﹣,∴E(﹣1,﹣),F(﹣4,);
綜上可知存在滿足條件的點F,此時E(﹣1,﹣)、F(0,)或E(﹣1,﹣)、F(﹣4,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某片果園有果樹80棵,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少,單棵樹的產(chǎn)量隨之降低,若該果園每棵果樹產(chǎn)果y千克,增種果樹x棵,它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時,果園可以收獲果實6750千克?
(3)當(dāng)增種果樹多少棵時,果園的總產(chǎn)量w(千克)最大?最大產(chǎn)量是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,點F在AC延長線上,,DE是△ABC中位線,如果∠1=30°,DE=2,則四邊形AFED的周長是________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為的對角線的交點,過點作直線分別交,于點,.
(1)求證:.
(2)若,,,求四邊形的周長.
(3)若,直接寫出的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為10的菱形ABCD中,對角線BD=16,對角線AC,BD相交于點G,點O是直線BD上的動點,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.
(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積.
(2)如圖①,當(dāng)點O在對角線BD上運動時,OE+OF的值是否發(fā)生變化?請說明理由.
(3)如圖②,當(dāng)點O在對角線BD的延長線上時,OE+OF的值是否發(fā)生變化?若不變,請說明理由;若變化,請?zhí)骄?/span>OE,OF之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點O在AB上,經(jīng)過點A的⊙O與BC相切于點D,交AB于點E.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若CD=1,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在10×10的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1個單位長度.△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上,且通過兩次平移(沿網(wǎng)格線方向作上下或左右平移)后得到△A′B′C′,點C的對應(yīng)點是直線上的格點C′.
(1)畫出△A′B′C′.
(2)△ABC兩次共平移了___個單位長度。
(3)試在直線上畫出點P,使得由點A′、B′、C′、P四點圍成的四邊形的面積為9.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以△ABC的AB、AC為邊分別作正方形ADEB、ACGF,連接DC、BF:
(1)CD與BF相等嗎?請說明理由;
(2)CD與BF互相垂直嗎?請說明理由;
(3)利用旋轉(zhuǎn)的觀點,在此題中,△ADC可看成由哪個三角形繞哪點旋轉(zhuǎn)多少角度得到的?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙C過原點O,且與兩坐標(biāo)軸分別交于點A、B,點A的坐標(biāo)為(0,2),M是第三象限內(nèi)⊙C上一點,∠BMO=120°,則圓心C的坐標(biāo)為( 。
A. (1,1) B. (1, ) C. (2,1) D. (﹣,1)
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