【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l1分別與x軸、y軸交于點B、C,且與直線l2交于點A.

(1)求出點A的坐標

(2)若D是線段OA上的點,且△COD的面積為12,求直線CD的解析式

(3)在(2)的條件下,設P是射線CD上的點,在平面內(nèi)是否存在點Q,使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)A(6,3);(2)y=﹣x+6;(3)存在滿足條件的點的P,其坐標為(6,0)或(3,﹣3)或(,+6).

【解析】(1)把x=0,y=0分別代入直線L1,即可求出y和x的值,即得到B、C的坐標,解由直線BC和直線OA的方程組即可求出A的坐標;(2)設D(x,x),代入面積公式即可求出x,即得到D的坐標,設直線CD的函數(shù)表達式是y=kx+b,把C(0,6),D(4,2)代入即可求出直線CD的函數(shù)表達式;(3)存在點Q,使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì)能寫出Q的坐標.

(1)解方程組,得, ∴A(6,3);

(2)設D(x, x),

∵△COD的面積為12,∴×6×x=12,

解得:x=4,∴D(4,2),

設直線CD的函數(shù)表達式是y=kx+b,

把C(0,6),D(4,2)代入得:,解得:,

∴直線CD解析式為y=﹣x+6;

(3)在直線l1:y=﹣x+6中,當y=0時,x=12,

∴C(0,6)

存在點P,使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形,

如圖所示,分三種情況考慮:

(i)當四邊形OP1Q1C為菱形時,由∠COP1=90°,得到四邊形OP1Q1C為正方形,此時OP1=OC=6,即P1(6,0);

(ii)當四邊形OP2CQ2菱形時,由C坐標為(0,6),得到P2縱坐標為3,

把y=3代入直線直線CQ的解析式y(tǒng)=﹣x+6中,可得3=﹣x+6,解得x=3,此時P2(3,﹣3);

(iii)當四邊形OQ3P3C為菱形時,則有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6,設P3(x,﹣x+6),

∴x2+(﹣x+6﹣6)2=62,解得x=3或x=﹣3(舍去),此時P3(3,﹣3+6);

綜上可知存在滿足條件的點的P,其坐標為(6,0)或(3,﹣3)或(+6).

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∴∠3=∠____________ ( 等量代換 ),

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