Question

已知Rt△ABC的兩直角邊AC=5，BC=12，D是BC上一點．當AD是∠A的平分線時，則CD=

10

3

．

Answer 1

分析：由題意畫出相應的圖形，過D作DE于AB垂直，垂足為E，由AD為角平分線，利用角平分線定理得到DC=DE，再由AD為公共邊，利用HL可得直角三角形ADC與直角三角形ADE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AC，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，再由BE=AB-AE=AB-AC，求出BE的長，設CD=DE=x，則有DB=BC-x=12-x，在直角三角形DEB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而得到CD的長．

解答：解：根據題意作出相應的圖形，如圖所示，
過點E作ED⊥AB，交AB于點E，
∵AD為∠A的平分線，ED⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=5，
在Rt△ABC中，由AC=5，BC=12，
根據勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=13，
∴EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
設CD=DE=x，BD=12-x，
在Rt△BDE中，利用勾股定理得：DE²+EB²=DB²，
即x²+8²=（12-x）²，解得x=

10

3

，
則CD=

10

3

．
故答案為：

10

3

．

點評：此題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理的應用，在出現(xiàn)角平分線時，常常過角平分線上一點作角兩邊的垂線，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等來解決問題．根據題意畫出圖形，利用勾股定理列出相應的方程是解本題的關鍵．