Question

如圖，已知點(diǎn)A在雙曲線y=

6

x

上，且OA=4，過A作AC⊥x軸于C，OA的垂直平分線交OC于B，則△AOC的面積=

 

；△ABC的周長為

 

．

Answer 1

分析：首先由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，直接得出△AOC的面積=

1

2

|k|=3；
如果設(shè)A（x，y），那么由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB，則△ABC的周長=OC+AC=x+y．由點(diǎn)A在雙曲線y=

6

x

上，且OA=4，可列出方程組，運(yùn)用完全平方公式將方程組變形，求出x+y的值，從而得出結(jié)果．

解答：解：∵點(diǎn)A在雙曲線y=

6

x

上，過A作AC⊥x軸于C，
∴△AOC的面積=

1

2

|k|=3；
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）．
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴x＞0，y＞0．
∵OA的垂直平分線交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周長=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y．
∵點(diǎn)A在雙曲線y=

6

x

上，且OA=4，
∴

y= 6 x ① x2+y2=16②

由①得，xy=6③，
③×2+②，得x²+2xy+y²=28，
∴（x+y）²=28，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=2

7

．
∴△ABC的周長=2

7

．
故答案為：3，2

7

．

點(diǎn)評：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，完全平方公式等多個(gè)知識點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對各個(gè)知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用．