Question

如圖，在?ABCD中，已知AB=2，BC=4，∠ABC=60°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)G，點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始，沿射線BG運(yùn)動(dòng)．
（1）計(jì)算BG的長(zhǎng)度；
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)與點(diǎn)D的距離最小，并求出最小距離；
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)A作AH⊥BG于H，求出∠ABG=μCBG=μAGB=30°，求出AH、BH，即可求出答案；
（2）過(guò)D作DP⊥BG于P，此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)D的距離最小，求出DG，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可；
（3）作D關(guān)于直線BG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接CE，交直線BG于P，則此時(shí)PC+PD的值最小，且等于CE長(zhǎng)，求出EZ，即可求出CE的值，得出答案即可．

解答：解：（1）過(guò)A作AH⊥BG于H，
∵∠ABC=60°，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=30°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠CBG=30°=∠ABG，
∴AG=AB=2，
在Rt△ABH中，AH=

1

2

AB=1，由勾股定理得：BH=

22-12

=

3

，
∵AB=AG，AH⊥BG，
∴BG=2BH=2

3

；

（2）
過(guò)D作DP⊥BG于P，此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)D的距離最小，
則∠DPG=90°，
∵∠DGP=∠AGB=30°，DG=AD-AG=4-2=2，
∴DP=

1

2

DG=1，
即最小距離是1；

（3）
作D關(guān)于BG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接CE，交直線BG于P，則此時(shí)PC+PD的值最小，且等于CE長(zhǎng)，
過(guò)D作DZ⊥CE于Z，
由（2）知：DE=2×1=2，
∵CD=AB=2，
∴CD=DE，
∴CE=2EZ，
在Rt△EDZ中，∠EZD=90°，∠EDZ=90°-30°=60°，DE=2，
∴DZ=1，EZ=

3

，
即CE=2EZ=2

3

，
故答案為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．