Question

【題目】（問題提出）：有同樣大小正方形256個(gè)，拼成如圖1所示的的一個(gè)大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過多少個(gè)小正方形？

（問題探究）：我們先考慮以下簡單的情況：一條直線穿越一個(gè)正方形的情況．（如圖2）

從圖中我們可以看出，當(dāng)一條直線穿過一個(gè)小正方形時(shí)，這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個(gè)邊相交，所以當(dāng)一條直線穿過一個(gè)小正方形時(shí)，這條直線會與其中某兩條邊產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，并且以兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段會全部落在小正方形內(nèi)．

這就啟發(fā)我們：為了求出直線最多穿過多少個(gè)小正方形，我們可以轉(zhuǎn)而去考慮當(dāng)直線穿越由小正方形拼成的大正方形時(shí)最多會產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn).然后由交點(diǎn)數(shù)去確定有多少根小線段，進(jìn)而通過線段的根數(shù)確定下正方形的個(gè)數(shù)．

再讓我們來考慮正方形的情況（如圖3）：

為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線右上方至左下方穿過一個(gè)的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線穿過正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的四條線段；這樣直線最多可穿過的大正方形中的六條線段，從而直線上會產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)之間的5條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線最多能經(jīng)過5個(gè)小正方形．

（問題解決）：

（1）有同樣大小的小正方形16個(gè)，拼成如圖4所示的的一個(gè)大的正方形．如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過_________個(gè)小正方形．

（2）有同樣大小的小正方形256個(gè)，拼成的一個(gè)大的正方形.如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過___________個(gè)小正方形．

（3）如果用一條直線穿過的大正方形的話，最多可以穿過___________個(gè)小正方形．

（問題拓展）：

（4）如果用一條直線穿過的大長方形的話（如圖5），最多可以穿過個(gè)___________小正方形．

（5）如果用一條直線穿過的大長方形的話（如圖6），最多可以穿過___________個(gè)小正方形．

（6）如果用一條直線穿過的大長方形的話，最多可以穿過________個(gè)小正方形．

（類比探究）：

由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，平面中的正方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中的正方形的六個(gè)面，類比上面問題解決的方法解決如下問題：

（7）如圖7有同樣大小的小正方體8個(gè)，拼成如圖所示的的一個(gè)大的正方體.如果用一條直線穿過這個(gè)大正方體的話，最多可以穿過___________個(gè)小正方體．

（8）如果用一條直線穿過的大正方體的話，最多可以穿過_________個(gè)小正方體．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）31；（3）；（4）4；（5）6 ；（6）；（7）4；（8）

【解析】

（1）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)4×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產(chǎn)生8個(gè)交點(diǎn)，這8個(gè)交點(diǎn)之間的7條線段，這樣就不難得到答案．

（2）應(yīng)用規(guī)律2n-1得到答案．

（3）應(yīng)用規(guī)律2n-1得到答案．

（4）應(yīng)用規(guī)律2n-1得到答案．

（5）我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)2×3的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產(chǎn)生5個(gè)交點(diǎn)，這5個(gè)交點(diǎn)之間的4條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過4個(gè)小正方形．

（6）不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)3×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會產(chǎn)生7個(gè)交點(diǎn)，這7個(gè)交點(diǎn)之間的6條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過6個(gè)小正方形．

（7）不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)m×n的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會產(chǎn)生（m+n）個(gè)交點(diǎn)，這m+n個(gè)交點(diǎn)之間的（m+n-1）條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過（m+n-1）個(gè)小正方形．

（8）用類似的方法得到規(guī)律：3n-2．即可解決．

（9）根據(jù)規(guī)律3n-2得到答案．

（1）再讓我們來考慮4×4正方形的情況（如圖4）：為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)4×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產(chǎn)生8個(gè)交點(diǎn)，這8個(gè)交點(diǎn)之間的7條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過7個(gè)小正方形．

故答案為7

（2）我們發(fā)現(xiàn)直線穿越1×1正方形時(shí)最多經(jīng)過1個(gè)正方形，直線穿越2×2正方形時(shí)最多經(jīng)過3個(gè)正方形，直線穿越3×3正方形時(shí)最多經(jīng)過5個(gè)正方形，

直線穿越4×4正方形時(shí)最多經(jīng)過7個(gè)正方形，…直線穿越n×n正方形時(shí)最多經(jīng)過2n-1個(gè)正方形．

∴直線穿越10×10正方形時(shí)最多經(jīng)過19個(gè)正方形．

故答案為19．

（3）由（2）可知，有2×16-1=31個(gè)正方形，

故答案為31．

（4）由（2）可知有2n-1個(gè)正方形．

故答案為2n-1．

（5）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)2×3的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產(chǎn)生5個(gè)交點(diǎn)，這5個(gè)交點(diǎn)之間的4條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過4個(gè)小正方形，

故答案為4．

（6）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)3×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會產(chǎn)生7個(gè)交點(diǎn)，這7個(gè)交點(diǎn)之間的6條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過6個(gè)小正方形．

故答案為6．

（7）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)m×n的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會產(chǎn)生（m+n）個(gè)交點(diǎn)，這m+n個(gè)交點(diǎn)之間的（m+n-1）條線段，每條會落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過（m+n-1）個(gè)小正方形，

故答案為（m+n-1）．

（8）用類似的方法可以得到：用一條直線穿過1×1×1正方體的話，最多可以穿過1個(gè)小正方體，用一條直線穿過，2×2×2正方體的話，最多可以穿過4個(gè)小正方體，用一條直線穿過，3×3×3正方體的話，最多可以穿過7個(gè)小正方體，用一條直線穿過4×4×4正方體的話，最多可以穿過10個(gè)小正方體，…用一條直線穿過，n×n×n正方體的話，最多可以穿過（3n-2）個(gè)小正方體．

故答案為4．

（9）由（8）可知有（3n-2）個(gè)正方形，

故答案為（3n-2）．