Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，點B的坐標為（3，0）。

（1）求m的值及拋物線的頂點坐標；

（2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標。

Answer 1

【答案】(1)m=2,(1,4)；(2)（1,2）.

【解析】

試題分析：(1)把點B的坐標為（3，0）代入，解方程即可得m的值，求出m的值后把拋物線化為頂點式即可得拋物線的頂點坐標；（2）連接BC交拋物線的對稱軸于點P，此時PA+PC的值最小，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，再求點P的坐標即可.

試題解析：(1)把點B的坐標為（3，0）代入得：，

解得m=2，

∴

∵

∴頂點坐標為（1,4）.

(2)連接BC交拋物線的對稱軸l于點P，此時PA+PC的值最小，

設Q是直線l上任意一點，連結(jié)AQ,CQ,BQ,

∵直線L垂直平分AB，

∴AQ=BQ,AP=BP,

∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC，

BC=BP+CP=AP+CP，

即AQ+CQ≥AP+CP

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

把（3,0），（0,3）代入得，

，解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+3，

當x=1時，y=-1+3=2.

答：當PA+PC的值最小時，點P的坐標為（1,2）.