Question

13．已知：O是坐標原點，P（m，n）（m＞0）是函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的點，過點P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）（a＞m）．設(shè)△OPA的面積為s，且s=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$．
（1）當n=1時，求點A的坐標；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）若n為小于20的整數(shù)，且k≠$\frac{{n}^{2}}{2}$，求OP²的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式得到s=$\frac{1}{2}$a•n．而s=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$，把n=1代入就可以得到a的值．
（2）易證△OPA是等腰直角三角形，得到m=n=$\frac{a}{2}$，根據(jù)三角形的面積S=$\frac{1}{2}$•an，就可以解得k的值．
（3）易證△OPQ∽△OAP，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，就可以得到關(guān)于k，n的方程，從而求出k，n的值，得到OP的值

解答 解：過點P作PQ⊥x軸于Q，則PQ=n，OQ=m，
（1）當n=1時，s=$\frac{5}{4}$，
∵s=$\frac{1}{2}$an，
∴a=$\frac{2s}{n}$=$\frac{5}{2}$，
∴點A坐標（$\frac{5}{2}$，0）．
（2）∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n=$\frac{a}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•a•n=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$，
即n⁴-4n²+4=0，∵k=n²，
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．
（3）由s=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$=$\frac{1}{2}$an，整理得a=$\frac{2}{n}$+$\frac{{n}^{3}}{2}$，
∵PA⊥OP，作PQ⊥OA于Q，∴△OPQ∽△OAP．
∴OP²=OQ•OA，∵OP²=m²+n²，又m=$\frac{k}{n}$，
∴$\frac{k}{n}$•a=$\frac{{k}^{2}}{{n}^{2}}$+n²，
化簡得：2n⁴+2k²-kn⁴-4k=0   即（k-2）（2k-n⁴）=0，
∴k=2或k=$\frac{{n}^{4}}{2}$，
∵k≠$\frac{{n}^{4}}{2}$，
∴k=2，
∵OP²=m²+n²=$\frac{4}{{n}^{2}}$+n²，且n是大于0且小于20的整數(shù)，
當n=1時，OP²=5，
當n=2時，OP²=5，
當n=3時，OP²=3²+$\frac{4}{{3}^{2}}$＞3²，
當n是大于3且小于20的整數(shù)時，顯然有OP²＞5，
∴OP²的最小值是5．

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形等知識，解題的關(guān)鍵是用轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考比較難的題目．