【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC邊的中點(diǎn), F是CD邊上的一點(diǎn), 且DF=1.若M、N分別是線段AD、AE上的動(dòng)點(diǎn),則MN+MF的最小值為________.
【答案】
【解析】
作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AE于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)M,可證得MG=MF,△MDG≌△MDF,DF=DG=1 ,可推出MN+MF=NG,根據(jù)垂線段最短,可知此時(shí)MN+MF的最小值就是NG的長(zhǎng);利用正方形的性質(zhì),可求出BE的長(zhǎng),同時(shí)可以推出∠B=∠ANM=∠FDM,∠AMN=∠BAE=∠FMD,再利用有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似,可證得△ABE∽△MNA∽△FMD,然后利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理就可求出MN,MG的長(zhǎng),由此看求出NG的長(zhǎng).
作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AE于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)M,
∴MG=MF,△MDG≌△MDF,DF=DG=1
∴∠GMD=∠DMF
∴MN+MF=MN+MG=NG
根據(jù)垂線段最短,可知此時(shí)MN+MF的最小值就是NG的長(zhǎng).
∵正方形BCD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)
∴BE=BC=AB=2
∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°,∠BAE+∠MAN=90°,
∵∠AMN+∠MAN=90°,
∴∠AMN=∠BAE,
∵∠AMN=∠DMG
∴∠AMN=∠BAE=∠FMD
∴△ABE∽△MNA∽△FMD
∴即
解之:MD=2,
∴AM=AD-MD=4-2=2
∴
設(shè)AN=x,則MN=2x
∴AN2+MN2=AM2,
∴x2+4x2=4
解之:AN=x=
∴MN=2AN=;
在Rt△MDG中,MG=
∴NG=MN+MG=.
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈.銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),每月銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷(xiāo)售過(guò)程中銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià),而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的60%.
(1)設(shè)小明每月獲得利潤(rùn)為w(元),求每月獲得利潤(rùn)w(元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)?每月的最大利潤(rùn)是多少?
(3)如果小明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價(jià)×銷(xiāo)售量)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】晉陽(yáng)湖公園是華北最大的城市公園,是太原市未來(lái)的“城市客廳”,是工業(yè)文明與人文歷史的交融.園內(nèi)的晉陽(yáng)湖是華北最大的人工湖,素稱(chēng)“中國(guó)北湖”.為滿足晉陽(yáng)湖景區(qū)水秀綜合演藝的調(diào)試和表演用水需求,工程部按計(jì)劃從4月1日開(kāi)始向晉陽(yáng)湖公園南擴(kuò)湖供水,供水總量為120萬(wàn)立方米,經(jīng)過(guò)計(jì)算,如果將原計(jì)劃的每日供水量提高25%,則完成供水所需的時(shí)間將比原計(jì)劃時(shí)間提前6天完成.
(1)求原計(jì)劃每日的供水量與供水的天數(shù)分別是多少?
(2)工程部按原計(jì)劃供水12天后,接到上級(jí)指揮部的命令,要求工程部務(wù)必與4月28日前完成供水任務(wù).則在后一階段的供水中,至少需將每日的供水量提高百分之多少,才能在指揮部要求的期限內(nèi)完成供水任務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1,2),且與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列結(jié)論:
①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③a+c<1;④b2+8a>4ac,
其中正確的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑為5,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB=8,.過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BD,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BD,垂足為D.
(1)求證:∠BAD+∠C=90°
(2)求線段AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“淮南牛肉湯”是安徽知名地方小吃.某分店經(jīng)理發(fā)現(xiàn),當(dāng)每碗牛肉湯的售價(jià)為6元時(shí),每天能賣(mài)出500碗;當(dāng)每碗牛肉湯的售價(jià)每增加0.5元時(shí),每天就會(huì)少賣(mài)出20碗,設(shè)每碗牛肉湯的售價(jià)增加元時(shí),一天的營(yíng)業(yè)額為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出的取值范圍);
(2)考慮到顧客可接受價(jià)格元/碗的范圍是,且為整數(shù),不考慮其他因素,則該分店的牛肉湯每碗多少元時(shí),每天的牛肉湯營(yíng)業(yè)額最大?最大營(yíng)業(yè)額是多少元?
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為直線,給出以下結(jié)論:①;②;③:④若為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則.其中正確的是( 。
A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:直線及直線外一點(diǎn)P.
求作:直線,使.
作法:如圖,
①在直線上取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓,交直線于兩點(diǎn);
②連接,以B為圓心,長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交半圓于點(diǎn)Q;
③作直線.
所以直線就是所求作的直線.
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程:
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明
證明:連接,
∵,
∴__________.
∴(______________)(填推理的依據(jù)).
∴(_____________)(填推理的依據(jù)).
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