Question

【題目】在△ABC中，∠ACB是銳角，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接EC．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：
若AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)D在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B重合），如圖①所示，請(qǐng)你直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是 ， ；

（2）猜想論證：
在（1）的條件下，當(dāng)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②所示，請(qǐng)你判斷（1）中結(jié)論是否成立，并證明你的判斷．

（3）拓展延伸：
如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，試探究：當(dāng)銳角∠ACB等于度時(shí)，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍成立（點(diǎn)C、E重合除外）？此時(shí)若作DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F，且當(dāng)AC=3 時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CF的長(zhǎng)的最大值是

Answer 1

【答案】
（1）CE=BD；CE⊥BD
（2）

解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：

如圖2，

∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

（3）45；
【解析】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；
故答案為：CE=BD，CE⊥BD；（3）45°； ；
過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)E點(diǎn)作EN垂直于MA延長(zhǎng)線于N，如圖3，
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠NEC=90°，
∴四邊形MCEN為矩形，
∴NE=MC，∴AM=MC，
∴∠ACB=45°，
∵四邊形MCEN為矩形，
∴Rt△AMD∽R(shí)t△DCF，
∴ = ，設(shè)DC=x，
∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3 ，
∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴ = ，
∴CF=﹣ x2+x=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴當(dāng)x= 時(shí)有最大值，最大值為 ．
故答案為：45°， ．

（1）線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）證明的方法與（1）一樣．（3）過(guò)A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，
由此得到Rt△AMD∽R(shí)t△DCF，得 ，設(shè)DC=x，而∠ACB=45°，AC= ，得AM=CM=3，MD=3﹣x，利用相似比可得到CF=﹣ x2+1，再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值．