【題目】在△ABC中,∠ACB是銳角,點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AE,連接EC.
(1)操作發(fā)現(xiàn):
若AB=AC,∠BAC=90°,當(dāng)D在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合),如圖①所示,請(qǐng)你直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是 , ;
(2)猜想論證:
在(1)的條件下,當(dāng)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖②所示,請(qǐng)你判斷(1)中結(jié)論是否成立,并證明你的判斷.
(3)拓展延伸:
如圖③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng),試探究:當(dāng)銳角∠ACB等于度時(shí),線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍成立(點(diǎn)C、E重合除外)?此時(shí)若作DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F,且當(dāng)AC=3 時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CF的長(zhǎng)的最大值是
【答案】
(1)CE=BD;CE⊥BD
(2)
解:(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:
如圖2,
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,
所以線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為:CE=BD,CE⊥BD;
(3)45;
【解析】解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為:CE=BD,CE⊥BD;
故答案為:CE=BD,CE⊥BD;(3)45°; ;
過(guò)A作AM⊥BC于M,過(guò)E點(diǎn)作EN垂直于MA延長(zhǎng)線于N,如圖3,
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,易證得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠NEC=90°,
∴四邊形MCEN為矩形,
∴NE=MC,∴AM=MC,
∴∠ACB=45°,
∵四邊形MCEN為矩形,
∴Rt△AMD∽R(shí)t△DCF,
∴ = ,設(shè)DC=x,
∵在Rt△AMC中,∠ACB=45°,AC=3 ,
∴AM=CM=3,MD=3﹣x,∴ = ,
∴CF=﹣ x2+x=﹣ (x﹣ )2+ ,
∴當(dāng)x= 時(shí)有最大值,最大值為 .
故答案為:45°, .
(1)線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,∠BAD=∠CAE,得到△BAD≌△CAE,CE=BD,∠ACE=∠B,得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,于是有CE=BD,CE⊥BD.(2)證明的方法與(1)一樣.(3)過(guò)A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAE=90°,AD=AE,利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM,易證得Rt△AMD≌Rt△ENA,則NE=MA,由于∠ACB=45°,則AM=MC,所以MC=NE,易得四邊形MCEN為矩形,得到∠DCF=90°,
由此得到Rt△AMD∽R(shí)t△DCF,得 ,設(shè)DC=x,而∠ACB=45°,AC= ,得AM=CM=3,MD=3﹣x,利用相似比可得到CF=﹣ x2+1,再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的目標(biāo),某校計(jì)劃為學(xué)校足球隊(duì)購(gòu)買一批足球,已知購(gòu)買2個(gè)A品牌的足球和3個(gè)B品牌的足球共需380元;購(gòu)買4個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球共需360元.
(1)求A,B兩種品牌的足球的單價(jià).
(2)求該校購(gòu)買20個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球的總費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)ABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(-4,5),C(-1,3).
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系(不寫作法);
(2)請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱△A'B'C';
(3)分別寫出A'、B'、C'的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn),且各邊與x軸或y軸平行,從內(nèi)到外,它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,8 …,頂點(diǎn)依次為A1,A2,A3,A4,A5,…,則頂點(diǎn)A55的坐標(biāo)是( )
A. (13,13) B. (-13,-13) C. (-14,-14) D. (14,14)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】銷售有限公司到某汽車制造有限公司選購(gòu)A、B兩種型號(hào)的轎車,用300萬(wàn)元可購(gòu)進(jìn)A型轎車10輛,B型轎車15輛;用300萬(wàn)元可購(gòu)進(jìn)A型轎車8輛,B型轎車18輛.
(1)求A、B兩種型號(hào)的轎車每輛分別多少元?
(2)若該汽車銷售公司銷售一輛A型轎車可獲利8000元,銷售一輛B型轎車可獲利5000元,該汽車銷售公司準(zhǔn)備用不超過(guò)400萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)轎車共30輛,且這兩種轎車全部售出后總獲利不低于20.4萬(wàn)元,問(wèn):有幾種購(gòu)車方案?在這幾種購(gòu)車方案中,哪種獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)下面對(duì)話,可知懶羊羊所買的筆和筆記本的;
價(jià)格分別為( )
喜羊羊:懶羊羊,你上周買的筆和筆記本的價(jià)格是多少啊?
懶羊羊:哦,我忘了,只記得先后買了兩次,第一次買了5支筆和10本筆記本共花了42元錢,第二次買了10支筆和5本筆記本共花了30元錢。
A. 0.8元/支,2.6元/本 B. 0.8元/支,3.6元/本
C. 1.2元/支,3.6元/本 D. 1.6元/支,3.2元/本
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意填空,完成本題的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái):
(Ⅳ)原不等式組的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,MN是⊙O的直徑,MN=4,∠AMN=40°,點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為( )
A.2
B.2
C.2
D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x﹣1與x軸交于點(diǎn)A1 , 如圖所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBnCnCn﹣1 , 使得點(diǎn)A1、A2、A3、…在直線l上,點(diǎn)C1、C2、C3、…在y軸正半軸上,則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是( )
A.(2n﹣1 , 2n﹣1)
B.(2n , 2n﹣1)
C.(2n﹣1 , 2n+1)
D.(2n﹣1 , 2n)
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