【題目】如圖,已知⊙O是以BC為直徑的△ABC的外接圓,OP∥AC,且與BC的垂線交于點(diǎn)P,OP交AB于點(diǎn)D,BC、PA的延長線交于點(diǎn)E.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若sinE= ,PA=6,求AC的長.

【答案】
(1)證明:連接OA,如圖,

∵AC∥OP,

∴∠ACO=∠POB,∠CAO=∠POA,

又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠POA=∠POB,

在△PAO和△PBO中,

,

∴△PAO≌△PBO(SAS),

∴∠PAO=∠PBO,

又∵PB⊥BC,

∴∠PBO=90°,

∴∠PAO=90°,

∴OA⊥PE,

∴PA是⊙O的切線


(2)解:∵△PAO≌△PBO,

∴PB=PA=6,

在Rt△PBE中,∵sinE= =

= ,解得PE=10,

∴AE=PE﹣PA=4,

在Rt△AOE中,sinE= = ,

設(shè)OA=3t,則OE=5t,

∴AE= =4t,

∴4t=4,解得t=1,

∴OA=3,

在Rt△PBO中,∵OB=3,PB=6,

∴OP= =3 ,

∵AC∥OP,

∴△EAC∽△EPO,

= ,即 = ,

∴AC=


【解析】(1)先利用平行線的性質(zhì)得到∠ACO=∠POB,∠CAO=∠POA,加上∠ACO=∠CAO,則∠POA=∠POB,于是可根據(jù)“SAS”判斷△PAO≌△PBO,則∠PAO=∠PBO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到PA是⊙O的切線;(2)先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6,在Rt△PBE中,利用正弦的定義可計(jì)算PE=10,則AE=PE﹣PA=4,再在Rt△AOE中,由sinE= = ,可設(shè)OA=3t,則OE=5t,由勾股定理得到AE=4t,則4t=4,解得t=1,所以O(shè)A=3;接著在Rt△PBO中利用勾股定理計(jì)算出OP=3 ,然后證明△EAC∽△EPO,再利用相似比可計(jì)算出AC.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用切線的判定定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

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證明:∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知)

∴∠4=∠5=90°( )

∴AD∥EG( )

∴∠1=∠E( ) ∠2=∠3( )

∵∠E=∠3(已知)

∴( )=( )

∴AD∠BAC的平分線(

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(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)求弦BD的長;
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