Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn) E，連接DE并延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：BD=BF；

（2）若CF=2，tanB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5.

【解析】

(1)連接OE，求出∠OEA為直角，再根據(jù)題意證明OE//BF，進(jìn)而利用中位線定義證明即可；

(2) 設(shè)BC＝3x,根據(jù)題(1)，利用三角函數(shù)分別將AO、AB、OE用含x的代數(shù)式表示出來，再利用OE//BF，則∠AOE＝∠B，根據(jù)三角函數(shù)列出方程求解即可.

（1）證明：連接OE，

∵AC與圓O相切，

∴OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵O為DB的中點(diǎn)，

∴E為DF的中點(diǎn)，即OE為△DBF的中位線，

∴OE=BF，

又∵OE=BD，

則BF=BD；

（2）解：設(shè)BC=3x，根據(jù)題意得：AC=4x，AB=5x

又∵CF=2，

∴BF=3x+2，

由（1）得：BD=BF，

∴BD=3x+1，

∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，

∵OE∥BF，

∴∠AOE=∠B，

∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，

解得：x=，

則圓O的半徑為=5．