Question

如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E，F，已知AD=4，試說明AE²+CF²的值是一個常數．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=AD²=16為常數．

點評：本題主要考查正方形的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識．