Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O切DC邊于E點，AD=3cm，BC=5cm．求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：過D作DF垂直于BC，交BC于點F，由AD∥BC，∠ABC=90°，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得∠DAB=90°，再由DF與BC垂直得到∠DFB=90°，根據(jù)三個角為直角的四邊形為矩形可得ABFD為矩形，可得出對邊AD=FB，DF=AB，同時得到AD與BC分別為圓O的切線，又CD為圓O的切線，根據(jù)切線長定理得到AD=DE，CE=CB，由AD與BC的長，根據(jù)CD=DE+EC，等量代換可得出DC的長，再由BC-FB可得出CF的長，在直角三角形CDF中，由DC及CF的長，利用勾股定理求出DF的長，可得出AB的長，進而確定出圓O的半徑，利用圓的面積公式即可求出圓O的面積．
解答：
解：過D作DF⊥BC，交BC于點F，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠ABC=90°，又AB為圓O的直徑，
∴AD與圓O相切，BC與圓O相切，又DC與圓O相切，
∴AD=ED，CB=CE，
∵AD=3cm，BC=5cm，
∴CD=DE+EC=AD+BC=3+5=8cm，
又∠DAB=∠BFD=∠ABC=90°，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴FB=AD=3cm，AB=DF，
∴CF=BC-FB=5-3=2cm，
在Rt△CDF中，DC=8cm，CF=2cm，
根據(jù)勾股定理得：DF==2，
∴圓O的直徑AB=DF=2，即半徑r=，
則圓O的面積S=πr²=15π．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，切線長定理，以及勾股定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．