Question

如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10）、（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；
（2）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，易得Q（1，0），結(jié)合P、Q得運(yùn)動(dòng)方向、軌跡，分析可得答案；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4，在Rt△AFB中，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，易得△ABF≌△BCH，進(jìn)而可得C得坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，易得△APM∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

，設(shè)△OPQ的面積為S，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，易得Q（1，0），
點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．
∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∠FAB=∠CBH
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
∴AB=

62+82

=10，
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）．

（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，
則△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

．∴

t

10

=

AM

6

=

MP

8

．∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t．
∴PN=OM=10-

3

5

t，  ON=PM=

4

5

t．
∵開(kāi)始時(shí)Q（1，0），動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，
∴OQ=1+t，
設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位）
∴S=

1

2

×(10-

3

5

t)(1+t)=5+

47

10

t-

3

10

t2（0≤t≤10）
∵a=-

3

10

＜0
∴當(dāng)t=

47 10

2×(- 3 10 )

=

47

6

時(shí)，△OPQ的面積最大此時(shí)P的坐標(biāo)為（

94

15

，

53

10

）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查的圖形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，要熟練掌握相似的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，并能夠?qū)⑺麄兣c二次函數(shù)的應(yīng)用有效的結(jié)合起來(lái)；解決此類(lèi)問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合得思想的運(yùn)用．