【題目】定義:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,李老師給出如下定義:如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.
理解:(1)如圖,已知是⊙上兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn),使為“智慧三角形”(畫(huà)出點(diǎn)的位置,保留作圖痕跡);
(2)如圖,在正方形中, 是的中點(diǎn), 是上一點(diǎn),且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說(shuō)明理由;
運(yùn)用:(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙的半徑為,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),若在⊙上存在一點(diǎn),使得為“智慧三角形”,其面積的最小值為______.
【答案】
【解析】分析:(1)連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解;
(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF、CF以及EC、BE的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為“智慧三角形”;
(3)根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊,再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo),從而求解.
詳解:(1)如圖1所示:
(2)△AEF是否為“智慧三角形”,
理由如下:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,
∵E是DC的中點(diǎn),
∴DE=CE=2a,
∵BC:FC=4:1,
∴FC=a,BF=4a﹣a=3a,
在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,
在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,
在Rt△ABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,
∴AE2+EF2=AF2,
∴△AEF是直角三角形,
∵斜邊AF上的中線等于AF的一半,
∴△AEF為“智慧三角形”;
(3)如圖3所示:
由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,
根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值,
由垂線段最短可得斜邊最短為3,
由勾股定理可得PQ=,
PM=1×2÷3=,
面積的最小值為: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各式能用完全平方公式分解的是( )
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C.-2x+1+4x2D.x4+4+4x2
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【題目】如圖,中,且是的中點(diǎn)
(1)求證:四邊形是平行四邊形。
(2)求證:四邊形是菱形。
(3)如果時(shí),求四邊形ADBE的面積
(4)當(dāng) 度時(shí),四邊形是正方形(不證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1)7-13+8;
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(3);
(4)
(5);
(6);
(7) ;
(8)-[-2-
(9);
(10)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在中,,點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與重合).以為邊作正方形,連接.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),求證:.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),其他條件不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段之間的關(guān)系;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí),且點(diǎn)分別在直線的兩側(cè).其他條件不變,若連接正方形對(duì)角線,交點(diǎn)為,連接,探究的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠A=30°,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運(yùn)動(dòng),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△APQ的面積為y(cm2),y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示.
(1)求a的值;
(2)求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上某一段時(shí)△APQ的面積,大于當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上任意一點(diǎn)時(shí)△APQ的面積,求x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F,連接AE.
求證:(1)BF=DF;
(2)若AB=6,AD=8,求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)依據(jù)(1)的解題經(jīng)驗(yàn),請(qǐng)解決下面問(wèn)題:
如圖2,點(diǎn),兩點(diǎn)均在軸上,且,分別以為腰在第一、第二象限作等腰,連接,與軸交于點(diǎn)的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變?若不變,求的值;若變化,求 的取值范圍.
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