Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²-2x+c的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在原點的左側，點B的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，-3），點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）當點P運動到拋物線頂點時，求四邊形ABPC的面積；
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將B（3，0），C（0，-3）兩點的坐標代入y=ax²-2x+c得：

解得：，
∴二次函數的表達式為：y=x²-2x-3；

（2）當點P運動到拋物線頂點時，連接AC，PC，PB，PO，做PM⊥AB，PN⊥OC，
∵二次函數的表達式為y=x²-2x-3；
∴P點的坐標為（1，-4），即PN=1，PM=4，還可得出OB=3，OC=3，AO=1，
∴四邊形ABPC的面積=S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB
=×AO×OC+×PN×OC+PM×OB，
=×1×3+×1×3+×4×3，
=9；

（3）存在點P，使四邊形POP′C為菱形，設P點坐標為（x，y），
PP′交CO于M，若使四邊形POP′C是菱形，
則有PC=PO，連接PP′，則PM⊥CO于M，
∴OM=MC=，
∴y=-．
∴x²-2x-3=-，
解得：x₁=，x₂=（不合題意舍去），
∴P點的坐標為（ ，-）．
分析：（1）運用待定系數法將B（3，0），C（0，-3）兩點的坐標代入y=ax²-2x+c，求出解析式即可；
（2）將四邊形ABPC的面積，面積分割為S_△AOC+S_△OCP+S_△OPB求出三個三角形的面積即可得出；
（3）根據菱形的性質，得出y=-，x的值，從而得出P點的坐標．
點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，以及分割四邊形求面積，以及菱形的性質，題目是中考中比較典型問題．