Question

在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，BG=4

2

，求△EFC的周長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由題意可證△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出各邊的長度，然后利用勾股定理求得AG的長度，繼而可得出AE的長度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF的長度，最后即可求出△EFC的周長．

解答：解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，
∵AF為∠BAD的角平分線，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，
∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，
又∵AB=6，AD=9，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴CE=CF=3．
∵BG⊥AE，BG=4

2

，
由勾股定理可得：AG=

AB2-BG2

=2，
∴AE=4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE．
∴

CE

BE

=

EF

AE

=

1

2

，
∴EF=2，
∴△EFC的周長=EF+FC+CE=8．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及的知識較多，比較麻煩，注意掌握性質(zhì)的運(yùn)用．