Question

如圖，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M是線段AB(中點(diǎn)除外)上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，OM的長為半徑作圓，與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、D．

（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為          ，點(diǎn)D的坐標(biāo)為           （用含有a的代數(shù)式表示）；

（2）求證：AC=BD；

（3）若過點(diǎn)D作直線AB的垂線，垂足為E．

①求證： AB=2ME；

②是否存在點(diǎn)M，使得AM=BE？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

⑴C（2a，0），D（0，2a+8）

⑵方法一：由題意得：A（－4，0），B（0，4）

－4＜a＜0，且a≠2，

①  當(dāng)2a+8＜4，即－4＜a＜－2時(shí)

AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a

∴AC=BD

②  當(dāng)2a+8＞4，即－2＜a＜0時(shí)

同理可證：AC=BD

綜上：AC=BD

方法二：①當(dāng)點(diǎn)D在B、O之間時(shí)，

連CD，∵∠COD＝90°

∴圓心M在CD上，

過點(diǎn)D作DF∥AB，

∵點(diǎn)M為CD中點(diǎn)，

∴MA為△CDF中位線，

∴AC＝AF，

又DF∥AB，

∴，

而BO＝AO   

∴AF=BD

∴AC＝BD

②點(diǎn)D在點(diǎn)B上方時(shí)，同理可證：AC=BD

綜上：AC=BD

⑶方法一

①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均為等腰直角三角形，

E的縱坐標(biāo)為a+6，∴ME=(y_E－y_M)==2

AB=4

∴AB=2ME

②AM=( y_M－y_A)＝(a+4)，BE=|y_E－y_B|=|a+2|，

∵AM=BE

又－4＜a＜0，且a≠2，

1⁰  當(dāng)－4＜a＜－2時(shí)

(a+4)= －(a+2)

∴a=－3

M（－3，1）

2⁰  當(dāng)－2＜a＜0時(shí)

(a+4)= (a+2)

∴a不存在

方法二：

①當(dāng)點(diǎn)D在B、O之間時(shí)，作MP⊥x軸于點(diǎn)P、MQ⊥y軸于點(diǎn)Q，取AB中點(diǎn)N，

在Rt△MNO與Rt△DEM中，MO＝MD

∠MON＝45⁰－∠MOP

∠EMD＝45⁰－∠DMQ＝45⁰－∠OMQ＝45⁰－∠MOP

∴∠MON＝∠EMD

∴Rt△MNO≌Rt△DEM

∴MN＝ED＝EB

∴AB＝2NB＝2（NE＋EB）＝2（NE＋MN）＝2ME

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B上方時(shí)，同理可證

②當(dāng)點(diǎn)D在B、O之間時(shí)，

由①得MN=EB，

∴AM=NE 

若AM=BE，則AM=MN=NE=EB=AB=

∴M（－3，1）

點(diǎn)D在點(diǎn)B上方時(shí)，不存在。

【解析】（1）直接利用垂徑定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；

（2）本題可用直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式分別求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；

（3）①根據(jù)A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均為等腰直角三角形，E的縱坐標(biāo)為a+6，可求得，，所以AB=2ME；

②AM=( －)＝(a+4)，BE=||=|a+2|，AM=BE，結(jié)合條件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3，可知M（-3，1）；當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，a不存在。