Question

如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣1．

（1）求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線(xiàn)交線(xiàn)段AB于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；

②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：，

∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線(xiàn)上，

∴，解得：。

∴拋物線(xiàn)的解析式為：。

（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，

∴OM=PQ，即，整理得：t²+5t﹣3=0，

解得（＜0，舍去）。

∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形OMPQ為矩形。

②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3。

若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示，

過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，

則D為OA中點(diǎn)，OD=OA=，

∴t=。

（II）若ON=OA，如答圖2所示，

過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，

設(shè)AD=x，則ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，

在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，

即，解得x₁=，x₂=0（舍去）。

∴x=，OD=1﹣x=。

∴t=。

（III）若OA=AN，如答圖3所示，

過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D，

設(shè)AD=x，則ND=AD•tanA=3x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，

即，解得x₁=，x₂=（舍去）。

∴x=，OD=1﹣x=1﹣。

∴t=1﹣。

綜上所述，當(dāng)t為秒、秒，1﹣秒時(shí)，△AON為等腰三角形。

【解析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式解析式。

（2）①當(dāng)四邊形OMPQ為矩形時(shí)，滿(mǎn)足條件OM=PQ，據(jù)此列一元二次方程求解。

②△AON為等腰三角形時(shí)，可能存在三種情形，分類(lèi)討論，逐一計(jì)算。