Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩頂點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為（8，0）（0，4），將矩形沿對(duì)角線(xiàn)OB按圖中方式折疊，此時(shí)A點(diǎn)落在A(yíng)′處，且OA′與BC邊交于點(diǎn)D．
（1）求過(guò)點(diǎn)O，D，A的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在（1）中的拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAA′的周長(zhǎng)最��？（請(qǐng)用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示P點(diǎn)的位置，寫(xiě)出過(guò)程）
（3）在（1）中的拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、D、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠DA′B=∠OAB=90°，A′B=AB=4；
∵OC=A′B，∠DA′B=∠DCO=90°，∠ODC=∠BDA′，
∴△OCD≌△BA′D，
∴CD=A′D；
設(shè)CD=A′D=x，則BD=8-x；
Rt△A′BD中，由勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得x=3；
故D（3，4）；
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax（x-8）²，
則有：3a（3-8）=4，
a=-；
∴y=-x（x-8）²=-x²+x．

（2）過(guò)A′作x軸的垂線(xiàn)，交BC于M，交OA于N；
在Rt△A′BD中，A′M⊥BD，則：
A′M=A′D•A′B÷BD=，
DM=A′D²÷BD=；
故CM=，A′N(xiāo)=，A′（，）；
△A′AP中，AA′的長(zhǎng)為定值，若周長(zhǎng)最小，那么PA+PA′最��；
由于O、A關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P必為直線(xiàn)OA′與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)；
易求得直線(xiàn)OA′：y=x，
拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸：x=4；
當(dāng)x=4時(shí)，y=，即P（4，）．

（3）假設(shè)存在符合條件的Q點(diǎn)，則有：
①D為△ADQ的直角頂點(diǎn)；
易求得直線(xiàn)AD的斜率：k==-，
所以設(shè)直線(xiàn)DQ：y=x+h，
則有：×3+h=4，
解得h=，
即y=x+，
當(dāng)x=4時(shí)，y=；
故Q（4，）；
②A(yíng)為△ADQ的直角頂點(diǎn)，同①可求得Q（4，-5）；
③Q為△ADQ的直角頂點(diǎn)，設(shè)Q（4，m），
則有：=-1，
即m²-4m-4=0；
解得m=2±2；
即Q（4，2+2）或（4，2-2）；
綜上可知：存在符合條件的Q點(diǎn)，且坐標(biāo)為：
Q（4，-5）或（4，）或（4，2+2）或（4，2-2）．
分析：（1）欲求拋物線(xiàn)的解析式，就必須先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，也就要求出CD的長(zhǎng)；根據(jù)折疊的性質(zhì)知：AB=A′B=OC=4，易證得△OCD≌△BA′D，那么CD=A′D，BD=BC-CD=8-CD，在Rt△A′BD中，利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可由待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)的解析式．
（2）△PAA′中，AA′的長(zhǎng)是定值，若此三角形的周長(zhǎng)最小，那么PA+PA′的長(zhǎng)最小，由于O、A關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，那么P點(diǎn)必為直線(xiàn)OA′與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)；過(guò)A′作x軸的垂線(xiàn)，交BC于M，交OA于N，在Rt△A′BD中，利用射影定理即可求得MD的長(zhǎng)，利用直角三角形面積的不同表示方法即可求出A′N(xiāo)的長(zhǎng)，由此求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)OA′的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸方程，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)分三種情況考慮：
①點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，那么QD⊥AD，易得直線(xiàn)AD的解析式，由于QD⊥AD，那么直線(xiàn)QD和直線(xiàn)AD的斜率的乘積為-1，結(jié)合D點(diǎn)坐標(biāo)即可求得直線(xiàn)DQ的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，方法同①；
③點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由于DQ⊥AQ，那么兩條直線(xiàn)的斜率乘積為-1，可據(jù)此列出關(guān)于Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題、直角三角形的判定、互相垂直的兩直線(xiàn)的斜率關(guān)系等重要知識(shí)，（3）題中，一定要根據(jù)不同直角頂點(diǎn)來(lái)分類(lèi)討論，以免漏解．