Question

已知如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形外的一點(diǎn)，且∠ABP+∠ACP=180°．
求證：AP平分∠BPC．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，利用垂直的定義得到一對(duì)直角相等，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ACN+∠ACP=180°，又∠ABM+∠ACP=180°，可得出一對(duì)角相等，再由三角形ABC為等邊三角形，得到AB=AC，利用AAS可得出△ABM≌△ACN，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AM=AN，由在角內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在角的平分線(xiàn)上，可得出PA為∠BPC的平分線(xiàn)．

解答：證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，
可得出∠AMB=∠ANC=90°，
∵∠ACN+∠ACP=180°，且∠ABM+∠ACP=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
又△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
在△ABM和△ACN中，

∠AMB=∠ANC ∠ABM=∠ACN AB=AC

，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴AM=AN，又AM⊥BP，AN⊥PN，
∴PA平分∠BPC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線(xiàn)的逆定理，作出兩條垂線(xiàn)，構(gòu)造全等直角三角形是解本題的關(guān)鍵．