Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，點P是線段AC上的一動點，作PD⊥AC，垂足為P，交AB于點D，設(shè)AP=t（0＜t＜6）．設(shè)△APD關(guān)于直線PD的對稱的圖形與四邊形BCPD重疊部分的面積為S．
（1）點A關(guān)于直線PD的對稱點A′與點C重合時，t=

 

；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：勾股定理,軸對稱的性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）根據(jù)折疊得出A′P=AP，即可求出答案；
（2）分為兩種情況：①當(dāng)0＜t＜3時，求出△A′PD的面積即可，②3≤t＜6時，分別求出△A′CE和△A′PD的面積，相減即可．

解答：解：（1）∵點A關(guān)于直線PD的對稱點A′與點C重合，AC=6，
∴CP=AP=3，
∴t=3，
故答案為：3；

（2）∵DP⊥AC，
∴∠APD=90°，
在Rt△APD中，∠A=30°，AP=t
∴PD=AD×tan30°=

3

3

t，
①當(dāng)0＜t＜3時，
∴S=S_△A′PD=

1

2

A′P×PD=

1

2

t•

3

3

t，
即S=

3

6

t²；
②3≤t＜6時，
∵A′P=AP=t，CP=6-t，
∴A′C=t-（6-t）=2t-6，
∵∠A=∠A′=30°，
∴EC=A′Ctan30°=

3

3

（2t-6），
∴S=S_△A′PD-S_△A′CE=

3

6

t²-

1

2

（2t-6）•

3

3

（2t-6）
S=-

3

2

t²+4

3

t-6

3

．

點評：本題考查了勾股定理和三角形的面積，解直角三角形的應(yīng)用，用了分類討論思想．