Question

20．有甲、乙兩位同學，根據“關于x的一元二次方程kx²-（k+2）x+2=0”（k為實數）這一已知條件，他們各自提出了一個問題考查對方，問題如下：
甲：你能不解方程判斷方程實數根的情況嗎？
乙：若方程有兩個不相等的正整數根，你知道整數k的值等于多少嗎？請你幫助兩人解決上述問題．

Answer 1

分析 （1）首先根據一元二次方程的定義得出k≠0，再計算△=（k+2）²-4k×2=（k-2）²≥0，由判別式的意義即可判定方程有實數根；
（2）利用因式分解法求出方程的兩根為x₁=1，x₂=$\frac{2}{k}$，根據方程有兩個不相等的正整數根，得出整數k=1．

解答 解：（1）∵kx²-（k+2）x+2=0（k為實數）是關于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∵△=（k+2）²-4k×2=（k-2）²≥0，
∴方程有實數根；

（2）kx²-（k+2）x+2=0，
（x-1）（kx-2）=0，
x-1=0，或kx-2=0，
解得x₁=1，x₂=$\frac{2}{k}$，
∵方程有兩個不相等的正整數根，且k為整數，
∴k=1或2，
∵k=2時，x₁=x₂=1，兩根相等，不合題意舍去，
∴k=1．

點評 本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
也考查了因式分解法解一元二次方程．