Question

12．如圖，直線l₁⊥x軸于點（1，0），直線l₂⊥x軸于點（2，0），直線l₃⊥x軸于點（3，0），…，直線l_n⊥x軸于點（n，0）（n為正整數）．函數y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…，l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…，A_n；函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…，l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…，B_n．如果△OA₁B₁的面積記作S，四邊形A₁A₂B₂B₁的面積記作S₁，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積記作S₂，…，四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積記作S_n，那么S₂₀₁₂=2012$\frac{1}{2}$．S_n=$\frac{2n+1}{2}$．

Answer 1

分析 函數y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…，l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…，A_n，根據各直線與x中的交點坐標分別得到點B₁，B₂，B₃，…，B_n，A₁，A₂，A₃，…，A_n的坐標，由函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…，l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…，B_n，得出點B₁，B₂，B₃，…，B_n的坐標，由A₁和B₁的縱坐標之差求出A₁B₁的長，以A₁B₁為底，由A₁的橫坐標為高，利用三角形的面積公式求出△OA₁B₁的面積S，同理求出△OA₂B₂的面積，用△OA₂B₂的面積-△OA₁B₁的面積，得出四邊形A₁A₂B₂B₁的面積，即為S₁的值；同理求出四邊形A₂A₃B₃B₂的面積，即為S₂的值；以此類推，表示出四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積，即S_n，將n=2012代入總結的規(guī)律中即可求出四邊形A₂₀₁₂A₂₀₁₃B₂₀₁₃B₂₀₁₂的面積S₂₀₁₂的值．

解答 解：由題意得：點A₁（1，1），A₂（2，2），A₃（3，3），…，A_n（n，n），
點B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…，B_n（n，2n），
∴△OA₁B₁的面積S=$\frac{1}{2}$×（2-1）×1=$\frac{1}{2}$，△OA₂B₂的面積為$\frac{1}{2}$×（4-2）×2=2，
∴四邊形A₁A₂B₂B₁的面積記作S₁=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
又△OA₃B₃的面積為$\frac{1}{2}$×（6-3）×3=$\frac{9}{2}$，
∴四邊形A₂A₃B₃B₂的面積記作S₂=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$；
以此類推，S_n=$\frac{2n+1}{2}$，
則S₂₀₁₂=$\frac{4025}{2}$=2012$\frac{1}{2}$．
故答案為：2012$\frac{1}{2}$，$\frac{2n+1}{2}$．

點評 此題考查了一次函數的性質，三角形的面積求法，利用了轉化的數學思想，是一道規(guī)律型題，鍛煉了學生歸納總結的能力．