Question

已知菱形ABCD，兩條對角線AC、BD相交于點O，DM⊥DA交BC于M，若M是BC的三等分點，則

AC

BD

的值是

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)菱形的邊長為3a，然后分兩種情況表示出BM、CM，再利用勾股定理列式求出DM，再利用勾股定理列式求出BD，然后根據(jù)菱形的面積列式求出AC，再相比即可得解．

解答：解：設(shè)菱形的邊長為3a，
如圖1，∵M是BC的三等分點，
∴BM=a，CM=2a，
在Rt△CDM中，DM=

CD2-CM2

=

(3a)2-(2a)2

=

5

a，
在Rt△BDM中，BD=

DM2+BM2

=

( 5 a)2+a2

=

6

a，
S_菱形ABCD=

1

2

AC•

6

a=3a•

5

a，
解得AC=

30

a，
所以，

AC

BD

=

30 a

6 a

=

5

；
如圖2，∵M是BC的三等分點，
∴BM=2a，CM=a，
在Rt△CDM中，DM=

CD2-CM2

=

(3a)2-a2

=2

2

a，
在Rt△BDM中，BD=

DM2+BM2

=

(2 2 a)2+(2a)2

=2

3

a，
S_菱形ABCD=

1

2

AC•2

3

a=3a•2

2

a，
解得AC=2

6

a，
所以，

AC

BD

=

2 6 a

2 3 a

=

2

，
綜上所述，

AC

BD

的值是

5

或

2

．
故答案為：

5

或

2

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，主要利用了菱形的面積，勾股定理，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．