Question

喜迎“端午”佳節(jié)，黃岡南湖食品工業(yè)園某食品公司推出一種新禮盒，每盒成本20元，在“端午”節(jié)前20天進行銷售后發(fā)現(xiàn)，該禮盒在這20天內(nèi)的日銷售量p（盒）與時間x（天）的關(guān)系如下表：

時間x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第…天
日銷售量p（盒）	78	76	74	72	70	……

在這20天內(nèi)，前10天每天的銷售價格y₁（元/盒）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為（1≤x≤10,且x為整數(shù)），后10天每天的銷售價格y₂（元/盒）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為（11≤x≤20,且x為整數(shù)），

(1) 直接寫出日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2) 請求出這20天中哪天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

(3) “端午”當(dāng)天，銷售價格（元/盒）比第20天的銷售價格降低a元（a>0）,而日銷售量比第20天提高了a盒，日銷售額比前20天中的最大日銷售利潤多284元，求a的值.(注：銷售利潤=（售價—成本價）×銷售量)

Answer 1

解：（1）p= — 2x+80                                             2分

（2）設(shè)日銷售利潤為w元，

當(dāng)1≤x≤10時，w=(—2x+80)( x+25-20)= —(x-10)²+450      3分

當(dāng)11≤x≤20 時，w=(—2x+80)( —x+40 -20)= (x-40)²             4分

因為w= —(x-10)²+450（1≤x≤10）的對稱軸為x=10,

所以當(dāng)x=10時，w取得最大值，最大值是450                  6分

因為w=(x-40)² （11≤x≤20）的對稱軸為x=40,

且當(dāng)  11≤x≤20時w隨x的增大而減小，

所以當(dāng)x=11時，w取得最大值，最大值是841.                      

綜上得當(dāng)x=11時，利潤最大，最大值是841元

即第11天的利潤最大，最大值是841元                        7分

（3）當(dāng)x=20時，銷售價格y₂= —x+40=30，

日銷量p= —2x+80=40                            9分

則（30-a）（40+a）=841+284,整理得a²+10a-75=0

解得a=5或a=-15（不合題意，舍去）

所a=5                                                       10分