Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0），點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P′．
（1）當(dāng)b=3時(shí)（如圖1），

①求直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式．
（2）②在x軸上找一點(diǎn)Q（點(diǎn)O除外），使△APQ與△AOB全等，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的所有坐標(biāo)
（3）若點(diǎn)P在第一象限（如圖2），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，作PC⊥x軸于點(diǎn)C，連結(jié)AP′，CP′．當(dāng)△ACP′是以點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，求出a，b的值．

（4）當(dāng)線(xiàn)段OP′恰好被直線(xiàn)AB垂直平分時(shí)（如圖3），直接寫(xiě)出b= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3）

∴有 ，解得： ．

故直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y= x+3．

（2）（﹣9，0）、（﹣8，0）或（1，0）
（3）

解：過(guò)P′作PD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0），

∴直線(xiàn)AB的斜率為 = ，

即直線(xiàn)AB的解析式為y= x+b．

∵點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a， a+b），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣a， a+b），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣a，0），

∴P′D= a+b，AC=a+4，AD=4﹣a．

∵點(diǎn)P為第一象限的點(diǎn)，

∴a＞0．

∵△ACP′是以點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴有 ，即 ，

解得：

（4）
【解析】解：（1）①設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y= x+3．
②∵點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)（點(diǎn)O除外），
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB= =5．
△APQ與△AOB全等有兩種情況：
當(dāng)AQ=AO時(shí)，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=﹣8，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣8，0）；
當(dāng)AQ=AB時(shí)，即|m+4|=5，
解得：m=﹣9，或m=1，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣9，0）或（1，0）．
綜上所述：點(diǎn)Q的所有坐標(biāo)為（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．
所以答案是：（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．（4）由（3）可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a， a+b），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣a， a+b），直線(xiàn)AB的解析式為y= x+b．
則OP′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ），直線(xiàn)OP′的斜率為 =﹣ ﹣ ．
∵線(xiàn)段OP′恰好被直線(xiàn)AB垂直平分，
∴有 ，
解得： ，或 （舍去）．
所以答案是： ．