Question

如圖，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作PN⊥x軸于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，MN的值最��？最小值是多少？求出此時(shí)PN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：首先連接OP，易得四邊形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，當(dāng)OP⊥AB時(shí)OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理與三角形的面積的求解，可求得MN的長(zhǎng)；
又由在Rt△POB中，根據(jù)勾股定理可得：BP=

9

5

，與S_△OBP=

1

2

OP•BP=

1

2

OB•PN，繼而求得PN的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，連接OP．
由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．
∴四邊形ONPM是矩形．
∴OP=MN，
在Rt△AOB中，當(dāng)OP⊥AB時(shí)OP最短，即MN最�。�
∵A（0，4），B（3，0），即AO=4，BO=3，
根據(jù)勾股定理可得AB=5．
∵S_△AOB=

1

2

AO•BO=

1

2

AB•OP，
∴OP=

12

5

．
∴MN=

12

5

．
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使OP⊥AB于點(diǎn)P時(shí)，MN最小，最小值為

12

5

；
在Rt△POB中，根據(jù)勾股定理可得：BP=

9

5

，
∵S_△OBP=

1

2

OP•BP=

1

2

OB•PN．
∴PN=

36

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理與三角形面積問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．