Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B．

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；

（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：

圓的綜合題．

專題：

綜合題．

分析：

（1）根據(jù)圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點(diǎn)即點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5；

（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，所以=，可解得OC=，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定l的解析式；

（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以O(shè)D=，ON=，即可確定N點(diǎn)坐標(biāo)；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，則BN=10﹣=，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計(jì)算即可．

解答：

解：（1）∵∠AOB=90°，

∴AB為⊙M的直徑，

∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∴AB==10，

∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標(biāo)為（（4，3）；

（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖，

∵BC與⊙M相切，AB為直徑，

∴AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBO+∠ABO=90°，

而∠BAO=∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠CBO，

∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，

∴=，即=，解得OC=，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（0，6）、C點(diǎn)（﹣，0）分別代入，

解得，

∴直線l的解析式為y=x+6；

（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，如圖，

∵∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，

∴△NOD為等腰直角三角形，

∴ND=OD，

∴ND∥OB，

∴△ADN∽△AOB，

∴ND：OB=AD：AO，

∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，

∴OD=，ON=ND=，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

∵△ADN∽△AOB，

∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，

∴BN=10﹣=，

∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，

∴△BON∽△EAN，

∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，

∴OE=ON+NE=+=7．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論；學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．