Question

15．已知拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c．
（1）若拋物線與x軸總有交點，求c的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₂＞x₁，若x₂-x₁=5，求c的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線與y軸的交點為C，拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸總有交點，由判別式可得c的取值范圍；
（2）根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸兩個交點，由根與系數(shù)的關系和x₂-x₁=5，得到關于c的方程，解方程即可求解；
（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對稱性，當M（-3，2）時，△MAN∽△ABC； ④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸總有交點，
∴△=（-$\frac{3}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）c=$\frac{9}{4}$+2c≥0，
解得c≥-$\frac{9}{8}$，
∴c的取值范圍是c≥-$\frac{9}{8}$；

（2）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-3，x₁•x₂=$\frac{c}{-\frac{1}{2}}$=-2c，
∴（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9+8c=25，
解得c=2；

（3）①由（2）可知OA=4，OB=1，OC=2，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{OB}{OC}$，
又∵∠COA=∠BOC=90°，
∴△ABC～△ACC～△CBO，
∴C點就符合題意，即M₁（0，2）；
②根據(jù)拋物線的對稱性可知，點（-3，2）也符合題意，即M₂（-3，2）；
③當點M在第四象限時，設$M（{n，-\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}n+2}）$，則N（n，0），
∴$MN=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2，AN=n+4$
當$\frac{MN}{AN}=\frac{1}{2}$時，$MN=\frac{1}{2}AN$，
∴$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2=\frac{1}{2}（{n+4}）$，
解得：n₁=-4（舍去），n₂=2，
即得到M₃（2，-3）；
④當$\frac{MN}{AN}=\frac{2}{1}$時，MN=2AN，
∴$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2=2（{n+4}）$
解得：n₁=-4（舍去），n₂=5，
即得到M₄（5，-18）．
綜上所述：符合題意的點有四個，它們是：M₁（0，2）、M₂（-3，2）、M₃（2，-3）、M₄（5，-18）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及判別式、根與系數(shù)的關系的知識點，利用相似三角形的性質(zhì)得出關于m的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．