Question

如圖，△ABC中，∠ACB=60°，△ABC′，△BCA′，△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形，點D在邊AC 上，且DC=BC．連接DB，DB′，DC′．有下列結論：

①CDB是等邊三角形；

②△C′BD≌△B′DC；

③S_△AC′D≠S_△DB′A

④S_△ABC+S_△ABC′=S_△ACB′+S_△A′BC

其中，正確的結論有__________（請寫序號，少選、錯選均不得分）

Answer 1

①②④

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出△BCD是等邊三角形以及∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，進而證得△C′BD≌△ABC，△BCA≌△DCB′，進一步證得四邊形AB′DC′是平行四邊形，即可判斷②③④．

【解答】解：∵BC=CD，∠ACB=60°，

∴△BCD是等邊三角形，故①正確；

∵△ABC′和△BCD是等邊三角形，

∴∠ABC′=∠DBC=60°，

∴∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，

在△C′BD與△ABC中，

，

∴△C′BD≌△ABC，

在△BCA與△DCB′中，

∴△BCA≌△DCB′（SAS）．

∴△C′BD≌△B′DC，故②正確；

∵△C′BD≌△ABC，

∴∠C′DB=∠ACB=60°，C′D=AC，

∵∠DBC=60°，AB′=AC，

∴∠C′DB=∠DBC，C′D=AB′，

∴BC∥C′D，

∵∠AB′C=∠A′CB=60°，

∴BC∥A′B，

∴AB′∥DC′，

∴四邊形AB′DC′是平行四邊形，

∴S_△AC′D=S_△DB′A，故③錯誤；

∵S_△AC′D=S_△DB′A，S_△B′CD=S_△BC′D，

∴S_△ABC+S_△ABC′=S_△ACB′+S_△A′BC．故④正確．

故答案為①②④．

【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及三角形面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．