【題目】如圖1所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,點(diǎn)B、C、G在同一條直線上,M是線段AE的中點(diǎn),DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N,連接FM,易證:DM=FM,DM⊥FM(無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程)
(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上,DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N,其余條件不變,試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出猜想,并給予證明;
(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上,DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,其余條件不變,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想.
【答案】(1)DM⊥FM,DM=FM,證明見(jiàn)解析;
(2)DM⊥FM,DM=FM.
【解析】
試題分析:(1)連接DF,NF,由四邊形ABCD和CGEF是正方形,得到AD∥BC,BC∥GE,于是得到AD∥GE,求得∠DAM=∠NEM,證得△MAD≌△MEN,得出DM=MN,AD=EN,推出△MAD≌△MEN,證出△DFN是等腰直角三角形,即可得到結(jié)論;
(2)連接DF,NF,由四邊形ABCD是正方形,得到AD∥BC,由點(diǎn)E、B、C在同一條直線上,于是得到AD∥CN,求得∠DAM=∠NEM,證得△MAD≌△MEN,得出DM=MN,AD=EN,推出△MAD≌△MEN,證出△DFN是等腰直角三角形,于是結(jié)論得到.
試題解析:(1)如圖2,DM=FM,DM⊥FM,
證明:連接DF,NF,
∵四邊形ABCD和CGEF是正方形,
∴AD∥BC,BC∥GE,
∴AD∥GE,
∴∠DAM=∠NEM,
∵M(jìn)是AE的中點(diǎn),
∴AM=EM,
在△MAD與△MEN中,,∴△MAD≌△MEN,∴DM=MN,AD=EN,
∵AD=CD,∴CD=NE,∵CF=EF,∠DCF=∠DCB=90°,
在△DCF與△NEF中,,∴△MAD≌△MEN,∴DF=NF,∠CFD=∠EFN,
∵∠EFN+∠NFC=90°,∴∠DFC+∠CFN=90°,∴∠DFN=90°,
∴DM⊥FM,DM=FM
(2)猜想:DM⊥FM,DM=FM,
證明如下:如圖3,連接DF,NF,連接DF,NF,
∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∵點(diǎn)E、B、C在同一條直線上,
∴AD∥CN,∴∠ADN=∠MNE,
在△MAD與△MEN中,,
∴△MAD≌△MEN,∴DM=MN,AD=EN,∵AD=CD,∴CD=NE,∵CF=EF,∵∠DCF=90°+45°=135°,∠NEF=180°﹣45°=135°,∴∠DCF=∠NEF,
在△DCF與△NEF中,,∴△MAD≌△MEN,∴DF=NF,∠CFD=∠EFN,
∵∠CFD+∠EFD=90°,∴∠NFE+∠EFD=90°,∴∠DFN=90°,
∴DM⊥FM,DM=FM.
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【題目】在學(xué)習(xí)了利用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線后,愛(ài)鉆研的小聰發(fā)現(xiàn),只有一把刻度尺也可以作出一個(gè)角的平分線.她是這樣作的(如圖):
(1)分別在∠AOB的兩邊OA,OB上各取一點(diǎn)C,D,使得OC=OD.
(2)連結(jié)CD,并量出CD的長(zhǎng)度,取CD的中點(diǎn)E.
(3)過(guò)O,E兩點(diǎn)作射線OE,則OE就是∠AOB的平分線.
請(qǐng)你說(shuō)出小聰這樣作的理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
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探究一:若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),請(qǐng)?jiān)趫D①中作出平移后的圖形,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______;連接AC、BO,請(qǐng)判斷O、A、C、B四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的形狀,并說(shuō)明理由;
探究二:若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2),如圖②,判斷O、A、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的形狀.
(2)通過(guò)上面的探究,請(qǐng)直接回答下列問(wèn)題:
①若已知三點(diǎn)A(a,b)、B(c,d)、C(a+c,b+d)(點(diǎn)A、B、C都不與原點(diǎn)O重合),順次連接點(diǎn)O、A、C、B,請(qǐng)判斷所得圖形的形狀;
②在①的條件下,如果所得圖形是菱形或者正方形,請(qǐng)選擇一種情況,寫(xiě)出a、b、c、d應(yīng)滿足的關(guān)系式.
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【題目】定義一種新的運(yùn)算“*”,并且規(guī)定:a*b=a2-2b.則(-3)*(-1)=_______.
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則2s=2+22+23+24+25+26+27+28+29+210②
②﹣①得s=210﹣1
根據(jù)以上方法請(qǐng)計(jì)算:
(1)1+2+22+23+…+22015(寫(xiě)出過(guò)程,結(jié)果用冪表示)
(2)1+3+32+33+…+32015=(結(jié)果用冪表示)
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