Question

已知：拋物線y=x²+（b-1）x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，-2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若b＞3，過(guò)點(diǎn)P作直線PA⊥y軸，交y軸于點(diǎn)A，交拋物線于另一點(diǎn)B，且BP=2PA，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式．（提示：請(qǐng)畫(huà)示意圖思考）

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閽佄锞�y=x²+（b-1）x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，-2b），所以將點(diǎn)P代入解析式即可求得；
（2）因?yàn)閎=3，所以求得c的值，即可求得拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）解此題的關(guān)鍵是首先確定函數(shù)的草圖，即開(kāi)口方向是向上，對(duì)稱軸為x=，在y軸的左側(cè)，根據(jù)題意確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以確定對(duì)稱軸方程，從而求得b、c的值，求得函數(shù)解析式．
解答：解：（1）依題意得：（-1）²+（b-1）（-1）+c=-2b （2分）
∴b+c=-2．（3分）

（2）當(dāng)b=3時(shí)，c=-5，（4分）
∴y=x²+2x-5=（x+1）²-6，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-6）．（6分）

（3）當(dāng)b＞3時(shí)，拋物線對(duì)稱軸x=
∴對(duì)稱軸在點(diǎn)P的左側(cè)
因?yàn)閽佄锞�是軸對(duì)稱圖形，P（-1，-2b）且BP=2PA
∴B（-3，-2b） （9分）
∴=-2，
∴b=5 （10分）
又b+c=-2，
∴c=-7 （11分）
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=x²+4x-7． （12分）
解法2：（3）
當(dāng)b＞3時(shí)，-b＜-3，1-b＜-2，則x=-=＜-1，
∴對(duì)稱軸在點(diǎn)P的左側(cè)，因?yàn)閽佄锞�是軸對(duì)稱圖形
∵P（-1，-2b），且BP=2PA，
∴B（-3，-2b） （9分）
∴（-3）²-3（b-1）+c=-2b（10分）
又b+c=-2，
解得b=5，c=-7（11分）
這條拋物對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=x²+4x-7．（12分）
解法3：（3）∵b+c=-2，
∴c=-b-2
∴y=x²+（b-1）x-b-2（ 7分）
BP∥x軸，
∴x²+（b-1）x-b-2=-2b（ 8分）
即x²+（b-1）x+b-2=0
解得：x₁=-1，x₂=-（b-2），即x_B=-（b-2）10分
由BP=2PA，
∴-1+（b-2）=2×1
∴b=5，c=-7  （11分）
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=x²+4x-7．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．