Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B，其對稱軸是x=-1，點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為m，連結(jié)AC，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，以AC、AD為邊作正方形ACED．

（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 ．

（2）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（3）當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線y=ax2+bx+2上時(shí)，求此時(shí)m的值．

（4）令拋物線與x軸另一交點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)BF，直接寫出正方形ACED的一邊與BF平行時(shí)的m的值．

Answer 1

【答案】（1）m+1；（2）y=-x2-x+2；（3）或；（4）或-．

【解析】

試題分析：（1）作DH⊥x軸于H，如圖1，先利用等角的余角相等得到∠ACO=∠DAH，則可根據(jù)“AAS”證明△ACO≌△DAH，所以AH=OC=m，易得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m+1；

（2）利用對稱軸方程和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征列方程組，解方程組求出a和b即可得到拋物線的解析式；

（3）作EG⊥y軸于G，如圖1，通過與（1）方法一樣證明△ACO≌△CEG得到GE=OC=m，CG=OA=1，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），然后把E點(diǎn)坐標(biāo)代入（2）中解析式得到關(guān)于m的方程，再解方程即可得到m的值；

（4）先通過解方程-x2-x+2=0得F（-3，0），計(jì)算當(dāng)x=0時(shí)的函數(shù)值得到B（0，2），討論：當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸上，即m＞0時(shí)，如圖1，證明△ADH∽△FBO，利用相似比可得到m的值；當(dāng)點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，即m＜0時(shí)，如圖2，證明△AOC∽△FOB，利用相似比可計(jì)算出m．

試題解析：（1）作DH⊥x軸于H，如圖1，

∵四邊形ADEC為正方形，

∴AC=AD，∠CAD=90°，

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠DAH=90°，

∴∠ACO=∠DAH，

在△ACO和△DAH中，

，

∴△ACO≌△DAH，

∴AH=OC=m，

∴OH=OA+AH=m+1，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m+1；

（2）根據(jù)題意得，解得，

故拋物線的解析式為y=-x2-x+2；

（3）作EG⊥y軸于G，如圖1，

與（1）方法一樣可證明得△ACO≌△CEG，則GE=OC=m，CG=OA=1，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），

把E（m，m+1）代入y=-x2-x+2得-m2-m+2=m+1，

整理得2m2+7m-3=0，解得m1=，m2=，

即m的值為或；

（4）當(dāng)y=0時(shí)，-x2-x+2=0，解得x1=-3，x2=1，則F（-3，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2-x+2=2，則B（0，2），

當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸上，即m＞0時(shí)，如圖1，

∵AD∥BF，

∴∠DAH=∠BFO，

∴△ADH∽△FBO，

∴AH：OF=DH：OB，即m：3=1：2，解得m=；

當(dāng)點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，即m＜0時(shí)，如圖2，

∵AC∥BF，

∴∠ACO=∠OBF，

∴△AOC∽△FOB，

∴AO：OF=OC：OB，1，即1：3=-m：2，解得m=-，

即m的值為或-．