【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+2x+6(a≠0)交x軸與A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),將直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置,邊WZ經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)C(4,m),與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D,直尺被x軸截得的線段EF=2,且△CEF的面積為6.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)探究:在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積最大?若存在,請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)將直尺以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左平移,設(shè)平移的時(shí)間為t秒,平移后的直尺為W′X′Y′Z′,其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點(diǎn)M,與拋物線的其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí),可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
【答案】(1)=﹣x2+2x+6;(2)在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積最大,面積的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,);(3)當(dāng)t為4﹣或4+秒時(shí),可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)三角形的面積公式求出m的值,結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出a值,從而得出結(jié)論;(2)假設(shè)存在.過點(diǎn)P作y軸的平行線,交x軸與點(diǎn)M,交直線AC于點(diǎn)N.根據(jù)拋物線的解析式找出點(diǎn)A的坐標(biāo).設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣n2+2n+6)(﹣2<n<4),由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式,代入x=n,即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo),利用三角形的面積公式即可得出S△ACP關(guān)于n的一元二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;(3)根據(jù)直尺的擺放方式可設(shè)出直線CD的解析式為y=﹣x+c,由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線CD的解析式,聯(lián)立直線CD的解析式與拋物線的解析式成方程組,解方程組即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo),令直線CD的解析式中y=0,求出x值即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo),結(jié)合線段EF的長度即可找出點(diǎn)F的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及C、D點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)即可找出點(diǎn)N的坐標(biāo),再由點(diǎn)N在拋物線圖象上,將其代入拋物線解析式即可得出關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程,解方程即可得出結(jié)論.
試題解析:解:(1)∵S△CEF=EFyC=×2m=6,
∴m=6,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,6),
將點(diǎn)C(4,6)代入拋物線y=ax2+2x+6(a≠0)中,
得:6=16a+8+6,解得:a=﹣,
∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6.
(2)假設(shè)存在.過點(diǎn)P作y軸的平行線,交x軸與點(diǎn)M,交直線AC于點(diǎn)N,如圖1所示.
令拋物線y=﹣x2+2x+6中y=0,則有﹣x2+2x+6=0,
解得:x1=﹣2,x2=6,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣n2+2n+6)(﹣2<n<4),
∵直線AC過點(diǎn)A(﹣2,0)、C(4,6),
∴,解得:,
∴直線AC的解析式為y=x+2.
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣n2+2n+6),
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,n+2).
∵S△ACP=PN(xC﹣xA)=×(﹣n2+2n+6﹣n﹣2)×[4﹣(﹣2)]=﹣(n﹣1)2+,
∴當(dāng)n=1時(shí),S△ACP取最大值,最大值為,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,).
∴在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積最大,面積的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,).
(3)∵直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置,
∴設(shè)直線CD的解析式為y=﹣x+c,
∵點(diǎn)C(4,6)在直線CD上,
∴6=﹣4+c,解得:c=10,
∴直線CD的解析式為y=﹣x+10.
聯(lián)立直線CD與拋物線解析式成方程組:,
解得:,或,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,8).
令直線CD的解析式y(tǒng)=﹣x+10中y=0,則0=﹣x+10,
解得:x=10,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,0),
∵EF=2,且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(12,0).
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(12﹣2t,0),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(12﹣2t﹣2,0+2),即N(10﹣2t,2).
∵點(diǎn)N(10﹣2t,2)在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上,
∴﹣(10﹣2t)2+2(10﹣2t)+6=2,整理得:t2﹣8t+13=0,
解得:t1=4﹣,t2=4+.
∴當(dāng)t為4﹣或4+秒時(shí),可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮和小剛按如下規(guī)則做游戲:每人從1,2,…,12中任意選擇一個(gè)數(shù),然后兩人各擲一次均勻的骰子,誰事先選擇的數(shù)等于兩人擲得的點(diǎn)數(shù)之和誰就獲勝;如果兩人選擇的數(shù)都不等于擲得的點(diǎn)數(shù)之和,就再做一次上述游戲,直至決出勝負(fù).從概率的角度分析,游戲者事先選擇( 。┇@勝的可能性較大.
A.5
B.6
C.7
D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三角形的兩邊長分別為4和6,第三邊長是方程x2-7x+12=0的解,則第三邊的長為( )
A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 無法確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把拋物線y=x2平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0)和原點(diǎn)O(0,0),它的頂點(diǎn)為P,它的對(duì)稱軸與拋物線y=x2交于點(diǎn)Q,則圖中陰影部分的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題是真命題的是( )
A.在一個(gè)三角形中,至多有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角
B.三角形的兩邊之和小于第三邊
C.在一個(gè)三角形中,至多有兩個(gè)內(nèi)角是銳角
D.在同一平面內(nèi),垂直于同一直線的兩直線平行
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A. 不相交的兩條直線叫做平行線
B. 兩條直線被第三條直線所截,同位角相等
C. 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
D. 平行于同一條直線的兩條直線互相平行
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