【題目】在平面直角坐標系xOy中,對于任意三點A,B,C,給出如下定義:如果矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行,且A,B,C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上,則稱該矩形為點A,B,C的覆蓋矩形.點A,B,C的所有覆蓋矩形中,面積最小的矩形稱為點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形.例如,下圖中的矩形A1B1C1D1,A2B2C2D2,AB3C3D3都是點A,B,C的覆蓋矩形,其中矩形AB3C3D3是點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形.

(1)已知A(2,3),B(5,0),C(, 2).

①當時,點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為

②若點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40,則t的值為 ;

(2)已知點D(1,1),點E( ),其中點E是函數(shù)的圖像上一點,⊙P是點O,D,E的一個面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形的外接圓,求出⊙P的半徑r的取值范圍.

【答案】(1)①35;②②t =-3或6;(2)

【解析】試題分析:(1)①由矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行,且A,B,C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上,則稱該矩形為點A,B,C的覆蓋矩形.點A,B,C的所有覆蓋矩形中,面積最小的矩形稱為點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形,得出最優(yōu)覆蓋矩形的長為:2+5=7,寬為3+2=5,即可得出結(jié)果;

②由定義可知,t=-3或6;

(2)OD所在的直線交雙曲線于點E,矩形OFEG是點O,D,E的一個面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形,OD所在的直線表達式為y=x,得出點E的坐標為(2,2),⊙H的半徑最小r=,當點E的縱坐標為1時,⊙H的半徑最大r=,即可得出結(jié)果;

試題解析:

解:(1:(1)①∵A(-2,3),B(5,0),C(2,-2),矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行,且A,B,C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上,則稱該矩形為點A,B,C的覆蓋矩形.點A,B,C的所有覆蓋矩形中,面積最小的矩形稱為點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形,
∴最優(yōu)覆蓋矩形的長為:2+5=7,寬為3+2=5,
∴最優(yōu)覆蓋矩形的面積為:7×5=35;

②∵點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40,
∴由定義可知,t=-36,

2)如圖1,OD所在的直線交雙曲線于點E,矩形OFEG是點O,DE的一個面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形,

∵點D1,1),

OD所在的直線表達式為yx,

∴點E的坐標為(2,2),

OE=,

∴⊙H的半徑r ,

如圖2

∵當點E的縱坐標為1時,1,解得x4,

OE==,

∴⊙H的半徑r =

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