Question

如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于M，現(xiàn)有：
①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180゜；④OA+OB=20M，
若把其中任兩個作為條件，都可得出另兩個結論．
（1）已知：①②，求證：③④； 
（2）已知：①③，求證：②④；
（3）已知：①④，求證：②③；
（4）已知：②③，求證：①④．

Answer 1

分析：（1）首先證明Rt△ECB≌Rt△MCA，進而得出Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性質得出答案即可；
（2）首先證明△ECB≌△MCA，進而證明Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性質得出答案即可；
（3）首先證明Rt△ECO≌Rt△MCO，進而證明△ECB≌△MCO，再利用全等三角形的性質得出答案即可；
（4）首先證明△ECB≌△MCA，進而證明Rt△EOC≌Rt△MOC，再利用全等三角形的性質得出答案即可．

解答：證明：（1）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECB和Rt△MCA中，

EC=MC CB=CA

，
∴Rt△ECB≌Rt△MCA（HL），
∴∠3=∠EBC，BE=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∵∠EBC+∠4=180°，
∴∠3+∠4=180°；
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM；

（2）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
∵∠EBC+∠4=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠3=∠EBC，
在△ECB和△MCA中，

∠3=∠EBC ∠BEC=∠AMC=90° EC=CM

，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴CB=AC，EB=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM；

（3）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∵OA+OB=20M，
∴BE=AM，
在△ECB和△MCA中，

BE=AM ∠BEC=∠AMC EC=CM

，
∴△ECB≌△MCO（SAS）
∴CA=BC，∠3=∠EBC，
∴∠3+∠4=180゜；

（4）∵∠3+∠4=180゜，∠4+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠3，
在△ECB和△MCA中，

∠CEB=∠CMA ∠EBC=∠3 BC=AC

，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴EC=MC，BE=AM，
∵CM⊥OA，CE⊥OB，
∴∠1=∠2，
在Rt△EOC和Rt△MOC中，

OC=OC EC=MC

，
∴Rt△EOC≌Rt△MOC（HL），
∴OM=OE，
∴OA+OB=20M．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及角平分線的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定是解題關鍵．