Question

巳知二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)0'恰好落在該拋物線的 對稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的 右側(cè)．小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題：“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等 （即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）．“若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等 （即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，再根據(jù)∠OAC=60°得出OC，從而求出a．
（2）本題需先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P是EF上任意一點(diǎn)時(shí)，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．
（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關(guān)于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．

解答：解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，
解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a，
∴點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
該拋物線對稱軸為直線x=3，
∴OA=2，
如圖①，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1，
由題意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2

3

，即8a=2

3

，
∴a=

3

4

；

（2）若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)論同樣成立，
①如圖②，設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)，連接PM，
∵點(diǎn)E（4，4）、F（4，3）與點(diǎn)B（4，0）在一直線上，點(diǎn)C在y軸上，
∴PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形，
②設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，3），點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3），
∴FB=3，GB=

10

，
∴3≤PB＜

10

，
∵PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD也不能構(gòu)成平行四邊形；

（3）存在一個(gè)正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
如圖③，∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，
∴PA=PB，
∴當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，8a），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，-a），
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，t），
∴PC²=3²+（t-8a）²，PD²=（t+a）²，
由PC=PD得PC²=PD²，
∴3²+（t-8a）²=（t+a）²，
整理得：7a²-2ta+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a=

2t± 4t2-28

14

=

t± t2-7

7

，
∴a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，
∵t＞3，
∴顯然a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，滿足題意，
∴當(dāng)t是一個(gè)大于3的常數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)正數(shù)a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．