Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，直線AB：y=$\frac{3}{4}x+6$與x，y軸分別相交于點A、B，BC平分∠ABO交x軸于點C．
（1）求點A、B的坐標(biāo)和線段AB的長；
（2）求線段OC的長；
（3）若過原點的直線l平行于直線AB，動點P在直線l上運(yùn)動，當(dāng)∠OBP=$\frac{1}{2}$∠OBA時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對于直線AB解析式，分別令x與y為0求出對應(yīng)y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而得出OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長即可；
（2）過C作CD⊥AB于點D，如圖1所示，利用角平分線定理得到OC=DC，設(shè)CO=x，在直角三角形ADC中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OC的長即可；
（3）記BC與直線l的交點為E，如圖2所示，分兩種情況考慮：①當(dāng)點P在OB的左側(cè)時，點P即為BC延長線與直線l的交點，求出直線BC解析式，與直線l解析式聯(lián)立求出P坐標(biāo)；②當(dāng)點P在OB右側(cè)時，∠1=∠2，此時點P為直線BC′與直線l的交點，同理求出P′坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由直線AB：y=$\frac{3}{4}$x+6，
令y=0得到x=-8，即A（-8，0）；令x=0得到y(tǒng)=6，即B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10；
（2）過C作CD⊥AB于點D，如圖1所示：

∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，
∴CD=CO，
設(shè)CO=x，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，即OC=3；
（3）記BC與直線l的交點為E，

①當(dāng)點P在OB的左側(cè)時，點P即為BC延長線與直線l的交點，
將B（0，6），C（-3，0）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=6，即直線BC解析式為y=2x+6，
∵直線l平行于直線AB，
∴直線l為$\frac{3}{4}$x，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24}{5}}\\{y=-\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，即P（-$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）；
②當(dāng)點P在OB右側(cè)時，∠1=∠2，此時點P為直線BC′與直線l的交點，
∴直線BC′與直線BC關(guān)于y軸對稱，
∵C（-3，0），
∴C點關(guān)于y軸的對稱點C′（3，0），
∴直線BC′解析式為y=-2x+6，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{11}}\\{y=\frac{18}{11}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{24}{11}$，$\frac{18}{11}$）．
綜上，P的坐標(biāo)為P（-$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）或（$\frac{24}{11}$，$\frac{18}{11}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩直線的交點坐標(biāo)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．