Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M為頂點(diǎn)的拋物線與x軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，連接AB，AC，正方形DEFG的一邊GF在線段BC上，點(diǎn)D，E在線段AB，AC上，AK⊥x軸于點(diǎn)K，交DE于點(diǎn)H，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)值：

x	…	﹣2	0	4	8	10	…
y	…	0	5	9	5	0	…

（1）求出這條拋物線的解析式；

（2）求正方形DEFG的邊長；

（3）請問在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形ADQP的周長最�。咳舸嬖�，請求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）由圖表可得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，9），

設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（x﹣4）²+9（a≠0），

把點(diǎn)（0，5）代入y=a（x﹣4）²+9，

解得：a=﹣．

∴函數(shù)解析式為：y=﹣（x﹣4）²+9；

（2）設(shè)正方形DEFG的邊長為m，

∵AK⊥x軸，

∴∠AKC=90°，

∵∠DEF=∠EFG=90°，

∴四邊形HEFK為矩形，

∴HK=EF=m，

∵點(diǎn)A在拋物線y=﹣（x﹣4）²+9上，橫坐標(biāo)為2，

∴y=﹣（x﹣4）²+9=8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（2，8），

∴AK=8，∴AH=AK﹣HK=8﹣m，

由題意可得：B（﹣2，0），C（10，0），

∴BC=12，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴m=﹣，

∴正方形的邊長為：；

（3）存在，

理由：過頂點(diǎn)M作拋物線的對稱軸直線l：x=4，

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：x=4對稱點(diǎn)為A′，A′點(diǎn)的坐標(biāo)為：（6，8），

∴設(shè)AB所在直線解析式為：y=kx+b，

∴，

解得：，

∴AB所在直線解析式為：y=2x+4，

∵D在直線AB上，DG=，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為：，

由2x+4=，

解得：x=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，），

設(shè)點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為D′，則D′（，﹣），

連接A′D′交對稱軸于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，連接AP，DQ，

則四邊形ADQP的周長最小，

設(shè)直線A′D′的解析式為：y=k′x+b′，

∴，

解得：，

∴直線A′D′的解析式為：y=x﹣，

當(dāng)x=4時，y=×4﹣=，∴P（4，），

當(dāng)y=0時，x=，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）．